Soit la parabole

(1} . • y1 = 2px,

rapportée à son axe et à son sommet; nous nous proposons de trouver les foyers qu’elle peut avoir. Soient o, 6 les coordonnées d’un foyer et 3 là distance de ce foyer à un point quelconque M(x,y) de la courbe; on aura :

(2) )* + fc-6)*.

Mais, par définition (n° 132), cette distance 3 peut s’exprimer

2<iï

par une fonction linéaire te -f tny -f « des coordonnées x et y ; on a donc :

s/(x— a)* -f (ÿ — 6)’ = Ix + my -f n ou

(3) (x— 6)* — (te + my + n)*=0.

Cette équation (3), exprimant une relation constante entre les coordonnées de chaque point de la parabole, n’est autre chose que l’équation même de cette courbe; elle doit, par suite, être identique à l’équation (1}. Mais l’équation (1) ne renferme pas le rectangle xy, tandis que dans l’équation (3) ce rectangle existe avec le coefficient — 2/m ; il faut donc que l’on ait lm== 0, c'est-à-dire, 1 = 0 ou m = 0.

Supposons m=0; alors 8 sera une fonction linéaire de x seule. L’équation (2) donne :

S* =xî ~2*x + a1 + ys — 26y + 6! ;

en remplaçant y par sa valeur Urée de (1), savoir ;

il vient:

y = \j $px ,

8* = x5 — 2ax -f + 2 px — - 26 y/2 px + 6*.

Puisque 8 doit être rationnelle, il faut, à fortiori, que 8’ le soit; cela exige que l’on ait 6=0, ç’est-à-dire, que les foyers soient situés sur l’axe des x. L’expression de 8* devient alors :

3* = x*— 2(* — p)x-pa‘;'

pour que le second membre soit un carré , il faut et il suffit que l’on ait:

DË LA PARABOLE.

d’où l'on tire :

oj

‘ flg. lis.

On trouve ainsi un foyer unique, situé sur l’axe, à une distance du sommet égale à

Il est aisé de voit que l’hypothèse de l ==0 est inadmissible; effectivement 8 serait alors une fonction linéaire de y seul, et d’un autre côté, en rempla-

çant x par — dans l’expression

de î1, cette expression serait du quatrième degré en y , ce qui est évidemment contradictoire.

Si l’on prend sur Ox (fig. i l 3)

une distance ÔF = | , le point F sera le foyer de la parabole y* = 2 px.