PF <PN

IIR. 114.

2° F étant un point extérieur à la courbe, menons NP"M

DE LA PARABOLE. 505

perpendiculaire à la directrice, et soit M le point de rencontre avec la courbe; le triangle FMP' donne FM ou MN < PT + P'M , d’où P'F > MN — PM , ou

, 204. La propriété démontrée au n» 202 donne le moyen

de construire aisément autant de points qu’on veut d’une parabole , dont on a le foyer et la directrice.

Soient F le foyer et DD’ la di*rectrice (fig. HS). Abaissons du foyer une perpendiculaire EE' sur la directrice, et soit E le point de rencontre. Il est clair que le milieu S de FE appartient à la parabole et que ce point est le seul qui soit commun à EE' et à la courbe.

Pour avoir d’autres points, soit P un point quelconque de SE'; menons par ce point MM' perpendiculaire à EE', et décrivons, du point F comme centre, une circonférence d’un rayon égal à PE; cette circonférence rencontrera la droite MM' en deux points M et M' qui appartiendront à la parabole. Je dis, d’abord, qu’il y aura rencontre , pourvu que le point P soit situé sur la partie indélinie SE' de la droite EE'; car alors le rayon EP sera plus grand que la distance du centre F à la droite. En second lieu , les points M et M' appartiendront à la courbe; car, pour le point M par exemple, on a FM = EP = MN. On aura de cette manière autant de points qu’on voudra de la parabole.

On peut aussi tracer d’un mouvement continu une por-

fig. 115.

flg. us.

tiotl de parabole aussi étendue qu’on le .veut. Soient

DD' la directrice, F le foyer (fig. fi6), et supposons qu’on veuille tracer la portion de parabole comprise entre la directrice et une parallèle KK', située à une distance de la directrice égale à EH. On prendra une équerre ABC dont un des côtés de l’angle droit AC soit égal à EH; on prendra aussi un fil de même longueur; on fixera l’une des extrémités de ce fil .au foyer F et l’autre extrémité au sommet C de l’équerre; on placera une règle suivant la directrice et l’on appuiera l’équerre sur la règle, de manière que le sommet A soit en E et le sommet C en H. Cela posé, si l’on fait glisser l’équerre de E vers D et que l’on tende le fil par le moyen d’un style appliqué sur CA et muni d’un crayon , la portion SMR de la parabole se trouvera tracée par le crayon. On décrira par le même moyen la portion SK’. Il est aisé de justifier la construction précédente. Considérons en effet l’équerre dans une quelconque de ses positions, et soit M le point occupé par le style; le fil forme la ligne brisée CMF, mais la longueur de ce fil est ËII ou CA, donc

CM + MF = CM + MA ou MF = MA ; donc le point M a décrit une portion de parabole.

^vSBSÎ--

DF. LA PARABOLE

îô:

LA PARASOLS PBl’T ÊTRE CONSIDÉRÉE COMME LA LIMITE u’iNF. ELLIPSE DANS LAQUELLE LF. GRAND AXE AUGMENTE INDÉFINIMENT, TANDIS QHS LA DISTANCE DU NOTER AU SOMMET VOISIN RESTE CONSTANTE.

MOS. Boit

a *;/* + blx * = a'-b ' ,

l’équation d’une ellipse rapportée à ses axes, et supposons o> 6. Si l’on remplace x par x — a, ce qui revient à transporter l’axe des y parallèlement à lui-même à l’un des sommets , l'équation de la courbe devient :

La distance du sommet pris pour origine au foyer le plus

voisin est a — y a1 — b1; supposons que, cette distance restant constante, on fasse croître indéfiniment le grand axe 2a,posons :

6'-pa— T-

d’où

En substituant cette valeur de 6* dans l’équation (2), elle devient : ,

px(îx+p) p*x*

^ 4as ■

tf = -2px — <

Si maintenant on fait croître a indéfiniment, on aura, à la limite, pour a = c*> :

y*=^2 px,

équation qui est celle d’une parabole au paramètre p.

/.a parabole est donc la limite d'une ellipse dont l’axe focal croit indéfiniment, tandis que la distance du foyer au sommet voisin reste constante.

Remarque. L’énoncé qui précède subsiste évidemment, si l’on substitue le mot hyperbole au mot ellipse.

206. On peut présenter d’une manière un peu différente les résultats auxquels nous venons de parvenir. Soit

a*i/! -)- b,xï = aib- ,

l’équation d’une ellipse rapportée, à ses axes. Si l’on met x — a au lieu de x dans l’équation précédente, il viendra : ••

ou. en faisant — = p et , = q :

y’ = ipx + qx'.

Telle est l’équation de l’ellipse, lorsqu’on la rapporte à son grand axe et à la tangente à l’un des sommets. La quanbl «

tité p = — est dite le paramètre de l’ellipse ; il est aisé de voir

que le paramètre est précisément l’ordonnée menée par un des foyers.

Soit de môme '

l’équation d’une hyperbole. Si l’on y met x -f a au lieu de x, il vient : .

DE LA PARABOLE

ou , en faisant — = p , — = q, a a

y ' = 2 px + qx\

La quantité p est encore appelée le paramètre de l’hyperbole. D’après ce qui précède , l’équation

y- = 2px -f- qx*

peut représenter l’une quelconque des trois courbes du second degré et cette forme est souvent usitée.

Si q n’est pas nul, l’équation précédente représente une ellipse ou une hyperbole; et, en désignant par a le demi-axe

focal de la courbe, on a q =

il résulte de là que si p

reste constant et que a croisse indéfiniment , on aura à la limite q = 0. On peut donc énoncer le théorème suivant :

La parabole est la limite d'une ellipse ou d'une hyperbole, dont le paramètre reste constant et dont l’axe focal croit indéfiniment.