Soit

y‘ = 2px ,

l’équation d’une parabole. Les dérivées du premier membre par rapport à x et par rapport à y sont — 2/> et 2y ; par suite le coefficient angulaire de la tangente au point (x', y) est

(n° 120) ^ ou £ ; celui de la normale est — ~ D’après cela, l’équation de la tangente sera

celle de la normale sera

La valeur absolue du coefficient angulaire —, décroît de l’in-

fini à zéro, quand le point {x‘, y') , placé d’abord au sommet, s’en éloigne indéfiniment. On en conclut que la tangente ausommet est perpendiculaire à l’axe, et qu’elle tend à devenir parallèle à l’axe, à mesure que le point de contact s’éloigne du sommet

-L’équation de la tangente, que nous venons de trouver, peut s’écrire î

y‘y—y‘‘=px — px‘, ■ ou , à cause de y'‘ = 2 px' ,

y'y=p(x + x')-, si l’on y lait y = 0 , il vient :

ar-{-x' = ü, d’où x — — a:';

cela montre que la tangente rencontre l’axe de la parabole , à une distançe du sommet égale à l’absçjsse du point de contact. La sous-tangente est donc double de cette abscisse. Cette propriété fournit un moyen de construire la tangente,

DE LA PARABOLE

lorsqu’on connaît le point de contact. En effet, soienl M

(fig. 117) le point de contact donné, OP son abscisse; si l’on prend du côté des abscisses négatives OT = OP, et qu’on joigne le point M au point T , la droite MT sera la tangente demandée.

L’équation de la normale est

si l’on y fait y — 0, il vient

— ÿ = — — x'), d’où l’on tire x — x' = pi

ce résultat montre que, dans la parabole, la sous-normale est constante et égale au paramètre. On en déduit un moyen de construire la tangente en un point donné M (fig. 117); car, si l’on porte, à partir du pied P de l’ordonnée de ce point, une longueur PN=rp, on aura la normale en joignant le point N au point M ; on obtiendra ensuite aisément la tangente.