SOMMETS. CENTRE. RAYONS VECTEURS

1. L’ellipse est une courbe plane telle que la somme des distances de chacun de ses points à deux points fixes soit constante. Les deux points fixes sont appelés foyers de l’ellipse.

La distance des foyers est toujours moindre que la somme des distances de ces points à un même point de la courbe , car dans un triangle un côté est moindre que la somme des deux autres.

2. On peut construire aisément autant de points qu’on veut d’une ellipse , quand on se donne les foyers ainsi que la somme constante* des distances de ces foyers à chaque point de la courbe; nous désignerons par a la demi -somme de ces distances , en sorte que 2 a exprimera la somme entière.

Cherchons d’abord (fig. I) les points où l’ellipse rencontre

la droite qui passe par

les foyers F et F'. Soit O le milieu de FF' et supposons que A soit un point de l’ellipse situé sur la droite FF' dans la direction de ÜF , x on aura

AF + AF' = 2a ,

mais on a AF = OA — OF , et

AF' = OA + OF' ou = OA + OF , car OF est égal à OF',

donc,

OA — OF + OA + OF = 2a ,

c’est-à-dire

20A = 2a et OA = a.

On verrait de môme que si A’ est un point de 1 ellipse situe sur FF' dans la direction de OF', on a également

OA' = a.

Il résulte de là que l’ellipse rencontre la droite FF' en deux points seulement , et que l’on obtiendra ces deux points A et A' en portant sur FF' à partir du milieu O deux longueurs OA et OA' égales à a.

Cela posé , comme la somme des distances des loyers à un même point de la courbe est égale à AA' , on voit que si 1 une de ces distances est égale à AC, l’autre sera AC. Si donc on prend un point C quelconque sur AA' entre F et F , puis que l’on décrive , des foyers F et F' comme centres, deux circonférences qui aient respectivement AC et A C pour rayons , les points d’intersection M et M' appartiendront à 1 ellipse. Les deux circonférences dont nous parlons se couperont toujours , car il est évident que la distance des centres FF est

moindre que la somme AA' des rayons et plus grande que la différence A'C — AG ou 2UC de ces mêmes rayons.

En donnant au point C diverses positions sur FF', on pourra construire, comme il vient d’être indiqué , autant de pointsqu’on voudra de l’ellipse. Quand on connaîtra ainsi des points de cette courbe assez nombreux et assez rapprochés les uns des autres , on les joindra par un trait continu , et l’ellipse sera tracée par points.

Il est important de remarquer les deux points que l’on obtient en plaçant le point C au milieu 0 de FF' ; les deux circonférences qui les déterminent ont l’une et l’autre pour rayon a, et elles se coupent en deux points B et B' situés à égales distances du pointO sur la perj)endiculaire menée par ce point à la ligne FF'.

5. On peut aisément tracer l'ellipse par un mouvement continu. Si eneilét . après avoir marqué les foyers F et F' (fig. 1), on prend un lit dont la longueur soit exactement égale à 2a, que l’on lixe aux foyers les extrémités de ce til et qu’on le tende par le moyen d’un style muni d’un crayon ou d’un tire-ligne ; en faisant mouvoir le style de A vers B , puis de B vers A', etc. , de manière que le fil soit toujours tendu, l’ellipse se trouvera décrite par le crayon ou le tire-ligne. C’est par un procédé du même genre que les jardiniers construisent sur le terrain leurs ovales de ligure elliptique. Ils emploient à cet effet une corde dont les extrémités sont fixées au sol par le moyen de deux piquets.

Un voit que l’ellipse est une courbe continue et fermée.

4. On nomme axe d’une figure plane toute droite qui partage cette figure en deux parties symétriques, c’est-à-dire, en deux parties dont Tune vienne coïncider exactement avec l’autre, lorsqu’on la fait tourner autour de l’axe, comme autour d’une charnière pour la rabattre sur l’autre partie.

Ainsi un rectangle a deux axes ; ce sont les droites qui joignent les milieux des côtés parallèles ; un losange a aussi deux axes, qui sont sont ses diagonales ; un carré , qui est à la fois rectangle et losange , a par conséquent quatre axes. Le cercle et la ligne droite ont une infinité d’axes; car tout diamètre est un axe du cercle , toute perpendiculaire à une droite est un axe de cette droite.

f>. Il est aisé de démontrer que l’ellipse a deux axes, qui sont la droite menée par les foyers et la perpendiculaire à cette ligne menée parle milieu de la distance des foyers.

Soient F et F’ les foyers d’une ellipse (fig. 2), et BB'la perpendiculaire menée par le milieu 0 de FF'. Désignons par 2 a, comme précédemment, la somme des distances des foyers à un même point de la courbe.

i° M étant un point quelconque de la courbe, abaissons MP perpendiculaire sur FF' et prolongeons la d’une quantité M'P = MP, je dis que le point M' appartient à l’ellipse. En effet MF et M'F , MF' et M'F' sont par rapport à MM' des obliques qui s’écartent également du pied de la perpendiculaire FF'; elles sont donc égales; d’ailleurs la somme MF -(- MF' est égale à 2a, puisque le point M est sur l’ellipse; donc la somme M’F + M'F' est aussi égale à 2a , et par conséquent le point M' appartient à l’ellipse. Il suit de là que si l’on fait tourner la partie du plan qui est au-dessus de AA' pour la rabattre sur l’autre partie, chaque point M de ABA' viendra coïncider avec son symétrique M' de AB'A' ; ce qui montre que AA' est un axe de l’ellipse.

2° M étant toujours un point quelconque de l’ellipse, abaissons MQ perpendiculaire sur BB1 et prolongeons-la d’une

quantité M"Q = MQ , je dis que le point M" appartient à l’ellipse. En effet, joignons OM et OM", les triangles OMQ et OM"Q sont égaux comme ayant un angle droit compris entre côtés égaux chacun à chacun ; il en résulte que les droites OM et OM" sont égales, ainsi que les angles MOQ et M"OQ ; par suite les angles MOF et M"OF' , MOF' et M"OF sont aussi égaux. On voit d’après cela que les triangles MOF et M"OF', MOF' et M"OF sont égaux comme ayant un angle égal en O compris entre deux côtés égaux chacun à chacun ; d’où il suit que MF = M"F' et MF' = WF. D’ailleurs MF + MF' est égale à 2a , donc M "F -f- M"!5" est aussi égale à 2a , et , par conséquent, le point M" est sur l’ellipse. Il résulte de là que si l’on fait tourner la partie du plan qui est à droite de BB' pour la rabattre sur la partie qui est à gauche , chaque point M de B AB' viendra coïncider avec son symétrique M" de BA'B'; ce qui montre que BB' est un deuxième axe de la courbe.

Les deux axes AA' et BB' partagent ainsi l’ellipse en quatre parties égales ; en sorte que la première partie AB ou , comme l’on dit aussi, le premier quadrant étant tracé, on pourra tracer facilement les trois autres.

6. On nomme sommets de l’ellipse les quatre points A, A', B, B' où cette courbe rencontre ses axes. On appelle longueurs des axes les parties des axes comprises dans l’intérieur de la courbe et qui ont pour extrémités les sommets. Le plus souvent même on se sert du simple mot axe pour désigner l’une ou l’autre des longueurs AA' et BB' dont il vient d’être question. L’axe AA' est dit le grand axe ou quelquefois l’axe focal, parce qu’il contient les foyers; l’axe BB' est le petit axe.

Nous avons désigné par 2a le grand axe AA'; nous représenterons le petit axe par 26 et la distance des foyers ou distance focale par 2c. D’après cela on voit que le triangle rec-

tangle BOF (fig* 2) a pour hypoténuse a , et que ses autres côtés sont 6 et c; on a donc

a- = 6* + c* , d’où c = y a1 — Ir.

Tl résulte de là qu’une ellipse est complètement déterminée quand on se donne les deux axes, car on connaît alors la distance des foyers et la somme des distances de ('es foyers à un point quelconque de la courbe.

7. On nomme centre d’une courbe un point qui partage en deux parties égales toutes les cordes qui y passent. 11 est aisé de démontrer que l’ellipse a pour centre le milieu de la distance des foyers. Effectivement , soient F et F’ les foyers d’une ellipse (fig. 3), O le milieu de la droite FF', et M un point de courbe : tirons MO et prolongeons- la d’une quantité M'O = MO , joignons ensuite M F et M'F'. Le quadrilatère FMF'M'est un parallélogramme , car ses diagonales se coupent en parties égales; donc MF et M'F', MF' et M'F sont égale*; d’ailleurs MF -j- MF' = 2a , donc on a aussi M'F + M'F' == 2a, ce qui prouve que le point M' est sur l’ellipse et par suite que le point O est le milieu de toutes les cordes qui passent par ce point. Le point O est donc le centre de l’ellipse.

fig. 3.

8. Lorsqu’un point se meut de manière à engendrer une ligne droite ou courbe , on nomme rayon vecteur de ce point mobile sa distance à un point fixe pris à volonté ; souvent même on emploie cette dénomination de rayon vecteur pour désigner la distance du point fixe à un point quelconque de la figure situé ou non sur la courbe. Dans la théorie de l’ellipse, on donne généralement le nom de rayons vecteurs aux droites qui joignent les foyers à un point quelconque du plan de la figure.

Ainsi ; d’après cette définition, on voit que lajomme des rayons vecteurs de chaque point de l'ellipse est égale au grand axe.

U est bon de remarquer que l’ellipse sépare les points du plan dont la somme des rayons vecteurs est supérieure ,, au grand axe, de ceux pour lesquels cette somme est inférieure \ au grand axe; en d’autres termes; H K s» F et F' sont les foyers d'une ellipse J dont le grand axe est 2a (fig. 4) , on

v ,-■ Y a, pour tout point P extérieur, FP -j-

flg *• F'P > 2a; et, pour tout point P’ inté-

rieur à la courbe, FP' 4* F'P’ < 2a.

En effet, dans le premier cas, si l’on joint le point F au point M où F'P rencontre la courbe, le triangle FMP donnera

FP -f PM > FM.

ajoutant F'M de partet d’autre , puis observant que FM -j- F'M = 2a, il viendra

FP + F'P > 2a.

Dans le deuxième cas, si l’on prolonge FP' jusqu’à sa rencontre avec la courbe et que l’on joigne FM, le triangle FP'M donnera

FP' < FM + PTM ;

ajoutant F'P' de part et d’autre, on aura FP -f FF < 2a.

9. La figure de l’ellipse dépend des grandeurs relatives des deux axes, ou, si l’on veut, des grandeurs relatives de la distance focale et du grand axe qui sont les éléments donnés

immédiatement. Le rapport - de ces deux éléments est ce que

l’on nomme Y excentricité de l'ellipse ; il est toujours compris entre 0 et 1. Quant l’excentricité diffère très-peu de l'uirité, le petit axe est très-petit relativement au grand, et la figure de l’ellipse est très-allongée dans le sens du grand axe; on voit que la courbe se réduit à la droite finie qui joint les loyers dans le cas limite où l’excentricité devient égale à I . Au contraire , si l’excentricité est très-petite, la différence des rayons vecteurs de chaque point de l’ellipse sera relativement trèspetite ; chacun de ces rayons différera peu du demi grand axe et la figure de la courbe sera sensiblement circulaire. On voit même que l’ellipse se réduit réellement à une circonférence dans le cas limite où l’excentricité devient nulle. Ainsi la circonférence de cercle est une ellipse dont les deux axes sont égaux ou dont l’excentricité est nulle.

Les orbites que décrivent la terre et les autres planètes sont des ellipses dont le soleil occupe un des foyers. Les excentricités sont généralement assez petites; nous donnons ici leurs valeurs pour les planètes principales.

Mercure. . 0,2056063 Jupiter. . 0,0481621

Vénus. . . 0,0068618 Saturne. . 0,0561505

La terre. . 0,01679226 Uranus . . 0,0466

Mars. . . v 0,0932168 Neptune. . 0,0087195