VECTEUR MENÉ AU POINT DE CONTACT. MENER, AU MOYEN DE

CETTE PROPRIÉTÉ , UNE TANGENTE A LA PARABOLE : 1° PAR UN POINT SITUÉ SUR LA COURBE; 2° PAR UN POINT EXTÉRIEUR.

808. Soient MT (fig. 117) la tangente en M (x',y'j à la parabole

y! — îpx>

et T le point où cette tangente coupe l’axe; on a vu (n“ 207) que OT=OP; on a donc FM = TF; par suite, le triangle FMT est isocèle et l’angle MTF est égal à l’angle FMT; donc, dans la parabole la tangente fait des angles égaux avec l'axe et avec le rayon vecteur mené au point de contact.

Si l’on tire la droite MH parallèlement à x'x, les angles SMH et MTF seront égaux ; d’où il résulte que la tangente fait des angles égaux avec le rayon vecteur et la parallèle à l’axe, menée par le point de contact. Cette propriété est une conséquence de la propriété de l’ellipse démontrée au n° 138; câr, le centre de l’ellipse étant transporté à l’infini , le rayon vecteur correspondant au second foyer devient parallèle à l’axe.

209. Le théorème que nous venons detablir donne un moyen de mener une tangente à la parabole : 1° par un point pris sur la courbe; 2° par un point extérieur.

1° Supposons d’abord qu’il s’agisse de mener une tangente en un point M d’une parabole (fig. 118). Soient F le foyer et DD' la directrice; joignons MF, abaissons FE perpendiculaire sur DD' , prenons FT = MF et joignons le point T au point M ; la ligne MT sera la tangente demandée.

En effet, le triangle MFT étant isocèle, l’angle TMF=MTF ; donc MT est tangente.

Remarque. Menons, par le point M, la droite PQ perpendiculaire sur la directrice, et joignons FP ; le triangle FMP est isocèle, et la tangente TT partage évidemment l’angle au

tT

Hg. ii*.

DE LA PARABOLE

sommet en deux parties égales. 11 s’ensuit qu’elle est perpendiculaire sur PF, et que le point I où elle la rencontre est le milieu de PF ; par conséquent, si du point I on abaisse une perpendiculaire sur EF, cette perpendiculaire passera par le milieu de EF ; ce sera donc la tangente au sommet de la parabole. Il résulte de là que la tangente au sommet de la parabole est le lieu géométrique des pieds des perpendiculaires abaissées du foyer sur les tangentes à la courbe.

2* Proposons-nous maintenant de mener une tangente r, à la parabole par un point T extérieur à la courbe x y (fig . H 9). Soient F le foyer et

DD' la directrice: si le problème était résolu, que TM — r* fût la tangente demandée et M le point de contact, en abaissant MP perpendiculaire sur la directrice, et joignant PF, PT et TF, la flg- ii». tangente MT serait perpen-

diculaire sur le milieu I de PF, et l’on aurait TP=TF. Il suit de là que le point P est à l’intersection de la directrice et du cercle décrit du point T comme centre avec le rayon TF. Le point P étant connu, on joindra PF, et on mènera PM parallèle à l’axe ; enfin on abaissera TI perpendiculaire sur PF ; cette ligne sera la tangente demandée , et le point M où elle rencontre PM sera le point de contact.

En effet, on a, par construction, TP = TF ; donc la perpendiculaire Tl abaissée sur PF passe par son milieu, donc MP=MF, ce qui prouve que M. est sur la courbe. En second lieu, on a TMF=TMP=?TMQ, donc TM est tangente.

Quand le point T est hors de la parabole, sa distance au

foyer est plus grande que sa distance à la directrice ; donc le cercle TF coupe la directrice en deux points P, P', et il y a deux tangentes. Quand le point T est sur la parabole, sa distance au foyer est égale à sa distance à la directrice ; le cercle TF est tangent à la directrice , et il n’y a qu’une seule tangente. Enfin, quand le point T est intérieur à la parabole, sa distance au foyer est moindre que sa distance à la directrice ; le cercle TF ne rencontre pas la directrice, et il n’y a plus de tangente.