Enfin supposons qu’il s’agisse de mener à la parabole

une tangente, parallèle à une droite donnée CK (fig. 120).

Soient F le foyer et DD' la directrice; si TT' est la tangente demandée et M le point de contact, en abaissant MP perpendiculaire sur la directrice, la droite FP sera perpendiculaire Sur TT', qui la coupera en son milieu 1. Il résulte de là que le point P est à la rencontre de la directrice et de la perpendiculaire abaisséo du foyer sur la droite donnée CK. Le point P étant connu, on mènera, par ce point, PM parallèle à l’axe, puis, par le milieu I de PF, une parallèle à CK; la droite TT ainsi obtenue sera la tangente demandée, et le point on elle rencontrera PM sera le point de contact.

Le problème admet toujours une solution, et n’en admet qu’une seule. Toutefois cette solution disparait dans le cas où la droite donnée est parallèle à l’axe.

Remarque. La construction de la tangente, dans les cas que nous venons d’examiner, ne suppose pas que la courbe

DE LA PARABOLE

soit tracée. Il suffit que l’on connaisse le foyer et la directrice.

Équation de la tangente parallèle à une droite donnée. 211. Soient

y’ = 2 px ,

l'équation d’une parabole , et

y=mx,

l’équation do la droite à laquelle la tangente demandée doit être parallèle. Désignons par x' et y' les coordonnées inconnues du point de contact ; l’équation de la tangente sera

y ’» = />(* + *') OU îf=ÿ*+y»

et, pour déterminer les inconnues a;’ et y', on aura les deux équations :

on en tire :

L’équation demandée est donc

On voit qu’il n’existe, dans la parabole, qu'une seule tangente parallèle à une droite donnée.

Remarque /. Si l’on considère la quantité m comme suscep- . tible de recevoir toutes les valeurs possibles, la précédente équation représentera toutes les tangentes à la parabole.

Remarque II. On peut résoudre la même question par les considérations dont nous avons déjà fait usage (n° 143) et qu’il serait superflu de reproduire ici.

Équation de la tangente menée par un point extérieur. 212. Soient

yJ = 2 px,

l’équation de la parabole donnée, et (a:’, y') le point donné, par lequel il s’agit de mener une tangente à la courbe. Si le point de contact (x", y") était connu, l’équation de la tangente demandée serait

Mais, cette tangente passant par le point donné (x',-ÿ) , on doit avoir identiquement :

fy' = p(x' + x"),

et on a en outre :

y"’ = -lpx";

les deux précédentes équations détermineront x". et y", et le problème sera résolu.

Puisqu’on a l'identité

il s’ensuit que le point de contact (x", y") est situé sur la droite qui a pour équation :

DE LA PARABOLE

et, comme on peut mener, par le point ( x’,y '), deux tangentes à la parabole, la précédente équation représente la droite qui joint les points de contact de ces tangentes avec la courbe.

Le problème de mener une tangente à la parabole, par un point extérieur, se ramène à construire cette corde de contact qu’on peut obtenir très-simplement, comme on le verra dans la suite.