Soit

. (1) y' = Zpx,

l’équation d’une parabole rapportée à son axe et à la tangente au sommet. Remplaçons x par a-f x cos a -f- y cos a' et y par b -(- x sin a -f- y sina' ; il viendra :

16 -)- x sin a -f- y sin a' )* = 2/>(a + x cosa -(- y cosa' ) j

en laissant a, b, u, a' indéterminés, cette équation représente une parabole rapportée à deux axes quelconques; si l’on

y 80 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

vput qu’elle ait la même forme que l’équation (1), il utfa poser :

sinasina'=0, sin’a=0, fcsina' — pcosoi'—O, b * — 2pa~0 ;

ce qui réduit l’équation de la courbe à

.12). >f = Zp'x,

eu faisant de plus

L’équation (2) représente la parabole rapportée & un diamètre et à la tangente qui passe par l’extrémité du diamètre.

11 est bon de remarquer que la quantité p' est précisément égale au double de la distance du foyer à la nouvelle origine. Il est presque superflu d’ajouter que les équations des tangentes et des diamètres sont ici les mêmes que quand la parabole est rapportée à son axe et à son sommet.

EXPRESSION DF. l’aIRE d’i'N SEGMENT 1>ARAB0LIQUE.

217. Soit proposé d’évaluer l’aire du segment parabolique, compris entre l’arc BC et sa corde. Prenons pour axe des x (fig. 121) le diamètre Ax, qui passe par le milieu P de BG, et pour axe des y la tangente Ay parallèle à BC ; l’équation de la parabole sera

. y* = 2 px. ■

n&. ni. . Soient 8 l’angle yAx; x et y

les coordonnées du point B , et u l’aire du triangle ABP. Si

DE LA PARABOLE

l'on considère x comme variable , u sera une fonction de x, et la dérivée u' de cette fonction aura pour valeur :

' JL . r~—

u =ÿsmO = ar* sm8y'2/>.

Or x * est la dérivéftrfle - x * ; il s’ensuit que les deux fonc- «J

tions u et x’ sin8y2/z ont des dérivées égales; d’ailleurs

ces fonctions s’annulent toutes deux pour x = 0, donc elles sont égales; ainsi on a :

u = ^ x*sin8y/2p = -x sin8 y 2px,

ou

u = ^ xj/sin8.

Or si l’on mène, par le point B, BN parallèle à AP, on formera un parallélogramme APBN dont l’aire est précisément xy sin 8 , donc : l’aire du triangle curviligne ABP est égale aux deux tiers de l’aire du parallélogramme APBN. Pour la même raison, l’aire du triangle APC est égale aux deux tiers de l’aire du parallélogramme formé sur les lignes AP et PC; on voit donc que le segment parabolique, compris entre un arc et sa corde, est égal aux deux tiers du parallélogramme, construit sur la corde et la partie du diamètre conjugué comprise entre l’arc et la corde.

Questions proposées.

I. Trouver le lieu des sommets des angles égaux à un angle donné et circonscrits à une parabole.

II. Trouver l’équation d’une normale à la parabole, parallèle à une droite donnée.

III. Trouver l’équation du lieu des points, d’où l’on peut mener à une parabole deux normales seulement. Ce lieu sépare le plan en deux régions; par chacun dés points de Tune des régions on peut mener trois normales à la parabole, par chacun des points de l’autre région on n’en peut mener qu’une seule.

IV. Trouver le lieu des sommets des angles droits dont les côtés sont normaux à une parabole. Ce lieu est une parabole tangente au lieu qu’il s’agit de trouver dans la question précédente.

V. Trouver l’équation de la normale qui intercepte dans la courbe une corde minima. Examiner la position de cette corde par rapport à la courbe dont il s’agit dans la question III.

VI. Trouver l’équation de la normale qui intercepte un segment d’aire minima.

VII. Démontrer que la circonférence, circonscrite au triangle formé par trois tangentes à une parabole , passe par le foyer de la courbe. Déduire de ce théorème un moyen de construire une parabole dont on connaît quatre tangentes.

VIII. Étant données deux circonférences, on mène à Tune d’elles une tangente qui coupe la seconde en deux points ; par ces deux points on mène des tangentes à la première circonférence. On demande le lieu du point d’intersection de ces deux dernières tangentes. Le lieu peut être Tune quelconque des trois courbes du second degré.

DES COORDONNÉES POLAIRES