CHAPITRE IX

DES COORDONNÉES POLAIRES

PASSER d’l'N SYSTÈME DE COORDONNÉES RECTANGULAIRES A UN SYSTÈME DE COORDONNÉES POLAIRES, ET RÉCIPROQUEMENT.

218. Nous avons dit (n° 51 ) qu’on nomftie généralement coordonnées d’un point , deux quantités susceptibles de déterminer la position de ce point sur un plan. Nous nous sommes bornés exclusivement jusqu’ici à l’emploi des coordonnées dites rectilignes; il nous reste à parler d’un autre système très -différent et qui, dans certains cas, offre des avantages considérables, Soit Ox (fig. 122) une droite fixe et O un point fixe de cette droite ; la position d’un point

m quelconque M du plan sera

déterminée , si l’on connaît la longueur ÛM et l’angle MOx

qu’elle forme avec la droite

I!Wi fixe; ces deux quantités sont

dites les coordonnées polaires du point M ; la coordonnée linéaire est désignée sous le nom de rayon vecteur ; le point fixe O est dit le pôle et la droite fixe Ox l’axe polaire.

219. Il est aisé d’exprimer les coordonnées rectilignes d’un point en fonction de ses coordonnées polaires, ou inver-

284 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE a deux dimensions. sement. Soient Ox et O'y deux axés rectangulaires; désignons

jsr

Hg. 123.

rectangle MOP donnera :

(1) X = pCOSü>,

par x et y les coordonnées d’un point quelconque M (fig. 123); si l’on prend la droite Ox pour axe polaire et le point O pour pôle , que l’on désigne par p le rayon vecteur OM du point M, par to sa coordonnée angulaire MOx, le triangle

y = psinu>.

On déduit de ces, formules ou de la considération du triangle MOP

p= v/aj’-f y\

sin to =

\fx*+ÿi>

COS to = - X

tangu

formules qui permettent de revenir des coordonnées polaires aux coordonnées rectangulaires.

Si, au lieu de prendre pour axe polaire l’axe des a:, on prend (fig. 123) une droite OX faisant un angle a avec l’axe des x et pour pôle l’origine des coordonnées rectangulaires, les formules de transformation se déduiront évidemment des formules (1 ) en changeant <o en to -{- a ; on aura ainsi :

(2) a;=pcos(to-f a),

puis

p= + y * et

y=psin(u>+a);

tang (» + «) = !?.

DES COORDONNEES POLAIRES.

Enfin les formules, relatives au cas où le pôle est un point quelconque ayant a et 6 pour coordonnées rectangulaires, et où l’axe polaire fait l’angle * avec Taxe des abscisses, se déduiront encore des formules (1) en ajoutant a et b à leurs seconds membres et en remplaçant u par oj -|- a- on obtient ainsi les formules :

(3) x=a-|-pcos((ü-|-«), y=6+psin(v>-}-o), d’où l’on déduit :

P= <J{x—a)' + (y—b)', tang (o> -f- a) = ■

Remarque 1. Dans ces dernières formules, l’angle a peut être supposé , à volonté , compris entre 0° et 360° ou entre — 1 806 et -f 180°.

Remarque II. La transformation des coordonnées rectilignes obliques en coordonnées polaires n’offre pas plus de difficulté, mais les formules relatives à ce cas ne sont d’aucun usage, et nous ne nous en occuperons pas.

220. Dans la recherche précédente, nous avons supposé le rayon vecteur positif, et l’angle <o compris entre zéro et 360°. Effectivement, on peut obtenir tous les points du plan, en faisant varier p de zéro à l’infini , et « de zéro à 360°. Mais . cette limitation est inutile ; en outre elle altérerait dans bien des cas la généralité des résultats. Il est aisé de comprendre la nécessité de n’admettre d’autres limites pour le rayon vecteur que — cr> et + c«. On ne se borne pas, en effet, à considérer des figures formées de points isolés , mais encore des lignes engendrées par le mouvement d’un point qui se meut suivant une loi déterminée ; or, dans un pareil mouvement , il y a deux choses à considérer ; d’abord le mouvement de

la droite qui joint le point mobile au pôle O et, en second lieu , le mouvement du point mobile sur cette droite. Dans ce dernier mouvement, le mobile peut passer départ et d’autre du point O ; il y a donc lieu de considérer des rayons vecteurs positifs et des rayons vecteurs négatifs, si l'on ne veut pas rompre la continuité qui se présente d’elle-môrne. Quant au mouvement de la droite mobile, sur laquelle se compte le rayon vecteur, il n’y a aucune raison pour qu’il ne soit pas indéfini dans un sens ou dans l’autre; nous admettrons donc que l’angle polaire peut prendre toutes les valeurs entre — c*> et -f- co.

Il résulte de là que les deux coordonnées polaires d’un point donné ne sont pas absolument déterminées, car si l’on a , pour un point :

on pourra écrire, si l’on veut ,

p = a, 0> = 24it-{-a,

k désignant un nombre entier positif, nul ou négatif.

221. On pourrait croire que ce qui précède ne doit point s’appliquer aux courbes algébriqaes. Effectivement, si

(1) F(*,ir)=o,

est l’équation d’une courbe algébrique, F(x, y) désignant Une fonction rationnelle et entière de x et de y, on obtiendra l’équation de la même courbe , en coordonnées polaires , en remplaçant x par pcosw et y par p sinw, ce qui donne :

(2) F(pcosu>, psinii>)=-0.

DES COORDONNÉES POLAIRES

Or, dans les formules de transformation , on obtient tous les points (x^y), en attribuant à p une valeur positive et à u> une valeur comprise entre zéro et 360°; par suite, il n’est pas nécessaire de considérer les valeurs de p et de <d en dehors de ces limites. Cette conclusion est vraie en général ; mais , bien que l’équation (t) soit supposée irréductible, il se peut que l’équation (2) soit décomposable en plusieurs facteurs ; alors l’équation

obtenue en égalant à zéro l’un de ces facteurs, ne pourra donner qu’une portion de la courbe. Au contraire, on obtiendra toute la courbe, à l’aide de la seule équation (3), si l’on admet toutes les valeurs réelles des deux coordonnées polaires. Les courbes du second degré en fourniront un exemple remarquable.

ÉQUATIONS DES TROIS COURBES DU SECOND DEGRÉ, EN COORDONNÉES POLAIRES, LE POLE ÉTANT SITUÉ A UN POT ER ET LES ANGLES ÉTANT COMPTÉS A PARTIR DE l’aXE QUI PASSE PAR CE FOYER.

222. Les formules de transformation, que nous avons établies précédemment, permettent d’obtenir immédiatement l’équation en coordonnées polaires d’une courbe, dont on a l’équation en coordonnées rectilignes. Ainsi l’équation générale de la ligne droite, en coordonnées rectilignes, étant

Ay -f ILr -j- C = 0 ;

l’équation, en coordonnées polaires, sera :

Asinu» -f Bcosw

l’axe des x étant pris pour axe polaire et l’origine pour pôle. Si l’on part de l’équation de la ligne droite , mise sous la forme :

i/sina + a;cosa = p ,

on trouvera plus simplement

P = -^-T COS (ta — a)

223. En appliquant la même transformation à une courbe du second degré, on obtiendra une équation qui sera du second degré par rapport à p , et la valeur de ce rayon vecteur sera, en général, une fonction irrationnelle de sinta et de costa. Par exemple, s’il s’agit de l’ellipse ou de l’hyperbole

à>yi±:bixi=àzà‘bi ,

qu’on prenne l'axe des x pour axe polaire et le centre pour pôle , on trouvera :

V dt a1 sin'ta -f 65 cos’ta

Mais , si l’on prend pour pôle le foyer d’une courbe du second degré, et qu’on fasse la substitution des valeurs de x et de y , exprimées en fonction de p et de ta , l’équation se décomposera en deux facteurs rationnels. Si, alors, on se conforme aux prescriptions du n° 220, l’équation, obtenue en égalant à zéro l’un quelconque de ces facteurs , sera propre à représenter la courbe.