Supposons d’abord qu’il s’agisse d’une ellipse, et soit

(!) ay + 6 V = o’ô* ,

DES COORDONNÉES POLAIRES

l’équation de cette courlie rapportée à ses axes. Si l’on prend pour pôle le foyer situé du côté des abscisses négatives, et si l’on suppose que la direction de l’axe polaire soit celle des abscisses positives, les formules de transformation seront :

- x = — c + pcosu>, y = psinto;

faisant la substitution et observant que a* — fe*=c*, il vient; (4 — -, cos’ü>) p‘ — ~rPcos“ — jî = o;, . v

■ - P1 ib* c "

ou, en faisant — = p, - = e , ..

(i — e’ cos’oj) p1 — 2pepcosü> — p* =0 ,

et l’on en tire les deux valeurs de p :

1 — t COSdi i + «COSti)

or jé dis que l’une quelconque de ces équations peut donner tous les points de la courbe. Considérons d’abord la première. Si l'on fait croître co de zéro à 180°, la valeur de p est con-

stamment positive et décroît de à — . On obtient ainsi

les deux premiers quadrants de l’ellipse, c’est-à-dire ceux qui sont situés du côté des ordonnées positives. En faisant croître (a de 180° à 360°, la valeur de p reste positive et croît

de — -, — à — — ; on obtient ainsi les deux derniers qua-

drants de la courbe. II est évident qu’en faisant croître <*> au delà de 360° ou en attribuant à cet angle des valeurs négatives . on ne retrouvera que les points déjà obtenus.

Il est aisé de voir que la deuxième des équations (2) donnera exactement les mêmes points que la première; car, supposons que p = p', «o=u>’ soit une solution de la première équation (2) ; le point dont les coordonnées sont p' et u>' peut être considéré, ainsi que nous l’avons vu , comme ayant pour coordonnées — p' et 180° + «/; or, p~ — p', u> = 180*4-“' forment une solution de la deuxième équation (2). On ferait voir de même que tout point donné par la deuxième équation (2) peut l’être également par la première.

225. Le cas de l’hyperbole est analogue à celui de l’ellipse; l’équation de la courbe rapportée à ses axes étant

>• ■ ■ a*y' — ô*#’ = — as6s , ' '

si l’on prend pour pôle le foyer situé du côté des abscisses positives, et si l’on suppose que la direction de l’axe polaire soit aussi celle des abscisses positives, les formules de transformation à employer seront :

Æ = c-f- pcosi», y = psinw;

faisant la substitution et observant que a* + 6’ = c* , il viént: â*C0S mJ* — pcostù — ~c=0,

ou, en faisant— = »,- =e, ,

(1) (1 — eacos!üi)p’ — 2pepcosw — p*=0 ,

équation qui est la même que celle relative à l’ellipse; on en tire ces deux valeurs de p :

v ' 1 — ecosia i-|-ecosta)

DES COORDONNÉES POLAIRES

Si l’on rejette les valeurs négatives de p, chacune de ces équations ne représentera que l’une des branches de l’hyperbole ; si , au contraire, on admet les valeurs négatives de p, l’une quelconque des équations (2) pourra être prise pour celle de la courbe.

11 est d’abord évident que, si l’on admet les valeurs négatives de p , les points, donnés par la première équation (2), le seront également par la seconde et réciproquement; on s’en convaincra en répétant ici le raisonnement que nous avons fait plus haut pour l’ellipse. En second lieu, je dis que si l’on rejette les valeurs négatives de p, chacune de ces équations (2) ne peut représenter qu’une seule branche de l’hyperbole. En effet, considérons, par exemple, la première équation (2) :

« étant ici plus grand que 1 , nous poserons cos a = - ; « étant

s. fi

un angle compris entre zéro et 00°. L’équation, dont nous nous occupons , peut s’écrire :

p COSa

COS a — COSW '

Si l’on fait croître u> de zéro à o, ou de 360° — a à 360°, p est négatif et nous rejetons les points correspondants. On doit donc se borner à faire croître u> de o à 3(i0°— a; pour w==a, p est infini et décroît constamment jusqu’à ee qu’on ait ü> = i8Ü<’, il croît ensuite jusqu’à l’infini en reprenant les mêmes valeurs. En donnant à w des valeurs supérieures à 3G0° ou des valeurs négatives et rejetant toujours les valeurs négatives de p, on n’obtiendra que les points déjà trouvés, et ces points forment évidemment une branche continue qui n’est qu’une demi-hyperbole.