Considérons enfin le cas de la parabole et soit

l’équation de cette courbe rapportée à son axe et à son sommet Prenons l'axe pour axe polaire et le foyer pour pèle, les formules à employer sont : '

i = - + p cos (i> , y = psint».

En faisant la substitution, il vient :

(1) (1 — cos,ü>)pî — 2/»pcos<o — p’ = 0,

d’où l’on tire les deux valeurs de p ,

\ — COSü) r 1-f-COSto

11 est aisé de voir, en répétant les raisonnements déjà faits pour l’ellipse, que l’une quelconque de ces équations, est propre à représenter toute là parabole si l’on admet toutes les valeurs positives et négatives du rayon vecteur.

Remarque. Il résulte de ce qui précède que l’équation ' .

représente les trois courbes du second degré, savoir: l’ellipse, si e est moindre que 1, la parabole, si e= l, et l’hyperbole, si e est plus grand que 1. On est ainsi conduit à considérer la parabole comme étant une ellipse ou une hyperbole dont l’excentricité est égale à 1 .

227. Les propriétés connues des foyers permettent de trouver très -simplement l’équation des courbes du second degré en coordonnées polaires ; mais la marche , que nous

avons suivie, est bien [plus propre à mettre en lumière l’jm-

DES COORDONNÉES POLAIRES. 293

portance des considérations développées plus haut. Nous nous bornerons à indiquer cette deuxième méthode.

L’ellipse étant rapportée à ses axes, désignons par x l’abscisse d un point de la courbe, et par p la distance de ce point au foyer situé du côté des abscisses négatives; on a, quel que soit ce point :

en mettant — c-f pcosu au lieu de a:, et faisant — = p,

-“= e, on obtient;

1 — ecosw

On obtient d'une manière analogue l’équation de l’hyperbole et celle de la parabole.

Des tangentes aux courbes dont on a l’équation en coordonnées polaires.

228. Dans le système des coordonnées polaires, on détermine la tangente en un point d’une courbe, en cherchant son

inclinaison sur le rayon vecteur. Soient u et p les deux coordonnées MOx et OM d’un point M d’une courbe (fig. 124); soient to-f-A et p-f-lc les coordonnées d’un second point M’ de cette courbe ; tirons MM' et fig. m. désignons par U l’angle OMK,

formé par le rayon vecteur OM et le prolongement de la

Î04 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS, corde MM!. Le triangle OMM' donne :

OM' sinOMK p-f-£ sinU

ÜM “ sinOM'K °U “p~ — sin(U— h) '

On en déduit :

k sinU — sin(U — A), p ~ sin (U — h) ’

divisant par h , il vient : I k

sin- cos

p h h sin(U — h)

h sin (U — h) ’

faisant h = O et désignant par p' la limite de — , c’est-à-dire

fi

la dérivée de p par rapport à o>, par V la limite de U, il vient : P\

f — u5fv ‘,nsv=?