Prenons pour exemple la courbe du second degré

représentée par l’équation

vt* ....

1 — ecosto

On a ici :

pesinto

' '• tangV =

p (1 — ecosto)* ’

1 — ecosto

c sin co

fc ' V..- : \\.V?

Digtef# fey f

DES COORDONNEES POLAIRES. 29S

Des asymptotes aux courbes dont on a l’équation en coordonnées polaires.

230. Considérons une branche infinie d'une courbe; si un point se meut sur cette branche et s’éloigne indéfiniment, la grandeur du rayon vecteur croîtra indéfiniment et sa direction deviendra parallèle à l’asymptote de la branche, si cette branche a une asymptote, il résulte de là que, pour avoir les asymptotes d’une courbe rapportée à des coordonnées polaires, il faut chercher d’abord les valeurs de tu pour lesquelles p est infini ; cela fera connaître les directions des asymptotes ; voici maintenant comment on achèvera de les déterminer. Soit MN (fig. 125) une branche de courbe infinie; soient u et p les co- «*• ordonnées d’un point quel-

conque M de cette courbe; enfin soit a l’angle que fait le rayon vecteur avec l’axe polaire Ox, lorsque le point M est à l'infini. On aura évidemment la distance de l’asymptote à la droite OP, en cherchant la limite vers laquelle tend la longueur de la perpendiculaire MP abaissée du point M sur OP, lorsque le point M s’éloigne à l’infini. En désignant donc par S cette limite , on aura , dans le triangle OMP :

& = lim. psin(« — <*>), ou 8 = lim. psin(w — «);

suivant que « sera inférieur ou supérieur à sa limite a.

Si la quantité 3 est infinie , la branche de courbe n’a pas

d’asymptote; si elle est nulle, la ligne OP est elle-même l’asymptote.

On a un moyen très-simple de trouver dans chaque cas la valeur de 8.

L’inverse - du rayon vecteur est une fonction de tu , don-

née par l’équation de la courbe. Désignons cette fonction par f((ü)-} posons en outre u> = a-j-/t, on aura:

i =±lim

sin h

ou, comme f{ a) est nulle par hypothèse.

8 = ± lim

sin h

lim

sin h

f( ■ + h)- - fl*) ~ lim f(* + h)-f(*) ’

ou , en désignant par /'( n>) la dérivée de f[oi) ,

formule dans laquelle on prendra seulement le signe + ou le signe — , suivant que f'( a) sera positive ou négative.

23i. Appliquons ce qui précède à l’hyperbole

1 — e cos <o

La quantité e est en valeur absolue plus grande que l’unité ; on peut donc trouver un angle tel que l’on ait :

CQ&OL

DES COORDONNÉES POLAIRES. 297

en substituant pour e cette valeur, l’équation (1) devient :

p cos a

CO S a — CO S O)

Les valeurs de w qui rendent p infini sont o>=a et tu=2it — a; ces valeurs indiquent les directions des asymptotes. La fonc-

tion - ou f[ u>) est ici P

COS n — cos tu

p COS * ’

et sa dérivée

sintu

p cosa ’

On a donc :

S = ± p cot « ;

ce qui achève de déterminer les asymptotes.

EXERCICES

Questions à résoudre.

I. Trouver l’équation générale du cercle en coordonnées polaires. Cette équation est

p’ — 2dcos(a — ti^p-j-d1 — r* =0.

II. Trouver l’équation, en coordonnées polaires, de la ligne droite qui passe par deux points donnés, ou satisfait à deux conditions données.

UI. Trouver l’équation, en coordonnées polaires, de la tangente à l’ellipse ou à l’hyperbole, ou à la parabole en un point donné.

rv. Trouver l’équation, en coordondées polaires, du lieu décrit par un point d’une circonférence qui roule sur une circonférence fixe de même rayon.

V. Tous les points d’un plan peuvent être déterminés par deux rayons vecteurs, c’est-à-dire par leurs distances à deux points fixes. On demande de démontrer que , dans ce système de coordonnées, le rapport des cosinus des angles, qu’une tangente à une courbe fait avec les deux rayons vecteurs du point de contact , est égal à la dérivée de l’un des rayons vecteurs considéré comme fonction de l’autre. Déduire de là les propriétés connues de la tangente à l’ellipse et à l’hyperbole.

VI. Tous les points d’un plan peuvent être déterminés par les angles que font les deux rayons vecteurs avec la droite qui joint les deux pôles. On demande de trouver l’équation de l’ellipse et de l’hyperbole dans ce système de coordonnées angulaires, en prenant pour pôles les deux foyers. L’équation de ces courbes est :

tang - io : tang - to = constante.

DES LIGUES COURBES EN GÉNÉRAL