ASYMPTOTES DES BRANCHES INFINIES

232. Nous nous proposons, dans ce chapitre, de montrer, par des exemples, comment on doit discuter et construire la courbe représentée par une équation donnée. La discussion consiste à examiner de quelle manière varie l’une des deux coordonnées, quand on lait varier l’autre d’une manière continue entre — oo et -f-e*. L’algèbre nous fait connaître un théorème fort important pour cet objet et qui consiste en ce qu’une fonction est croissante, tant que sa dérivée est positive; et qu’au contraire elle est décroissante, tant que sa dérivée est négative. Ce théorème suffit, dans bien des cas, pour déterminer le cours des diverses branches dont la courbe est composée. Quant à la construction ultérieure de la courbe, on l’effectue en déterminant un nombre de points suffisamment grand et joignant ensuite ces points par un trait continu. La construction des tangentes aux points qu’on aura ainsi déterminés, celle des asymptotes des branches infinies permettent ensuite d’obtenir un dessin plus exact de la courbe.

Exemples de courbes rapportées A des coordonnées rectangulaires.

Premier exemple (courbe parabolique).

233. On nomme généralement courbe parabolique du degré bi, une courbe ayant une équation de la forme :

y=fix),

où f[x) désigne un polynôme entier et rationnel du degré m. Le cas de m= 2 donne évidemment la parabole ordinaire. Proposons-nous de discuter et de construire l’équation

la dérivée y1 de y a pour valeur :

et l’on peut écrire :

y = (* + l)(2;r— i) (jp — 2) , y' = i (“2a;— 1 + v'3) (2a:— 1 — s/3).

Si x croît depuis — oo jusqu’à •

-0,36 , y' est

constamment positif et par suite y croit; au contraire, y dé- ’oît , si l’on I

croît, si l’on fait croître x depuis — - = — 0,36....; jus-

qu’à

:1,36....; enfin y redevient croissant, lorsque

j /ft

x croît de — = 1,36.... jusqu’à +0=-.

Prenons sur l’axe des x •• OA = 1 , OB = - , OC = 2 ; et,

DES LIGNES COURBES EN GÉNÉRAL

sur l’axe des y, OD=2 (fig. 126); la courbe part de l’infini

négatif, se rapp oche de l’axe des x qu’elle coupe en A , s’élève au-dessus de cet axe jusqu’au point E dont l’abscisse

/ \» Ie-

est

flg. 126.

puis elle s’en rapproche et le rencontre en B; elle s’en éloigne de nouveau jusqu’au point F dont l’abscisse est

= 1,36 , s’en rapproche et le rencontre en C;

enfin elle s’en éloigne et s’étend à l’infini.

L’angle, que la tangente fait avec l’axe des x au point A, a pour tangente trigonométrique + 9 ; au point D , — 3 ; au

point B , — - ; au point G , -j- 9.

En E et F la tangente est parallèle à l’axe des x ; ces tangentes correspondent au maximum et au minimum de l’ordonnée.

La courbe n’a pas d’asymptote , puisque est infini par x— oc.

Deuxième exemple.