Soit l’équation

on trouve, pour la dérivée y' dey,

on peut écrire :

(x-f-3)(x — 1) , 10x(ar — 3)

Pour x— — co, on a y = l ; de x = — oo à x= — 3, y' est négatif, par suite y décroît depuis 1 jusqu’à zéro; de x= — 3

à a; = 0, y' est négatif et y décroît de zéro à — de x=0

à x = + 1 , y' est positif et y croît de — - à zéro ; de x= 1

à x=2, y' est positif et y croît de zéro à -f oo; de a:=2 à x = 6, y est négatif, mais y' est positif de a: = 2 à x = 3 et négatif de x = 3 à x=G; par suite de a;=2 à a:=3 y croît de — c» à — \, et de x = 3 à x = 6 y décroît de — A à — oo; de x=6 à x = -+-a=>, y' est négatif, par suite y décroît de +oo à +1.

UES LIGNES COURBES EN GÉNÉRAL

Il résulte de cette discussion que notre courbe , qui est du troisième degré, est composée de six branches infinies, comme l’indique la figure 1 27 ; deux de ces branches ont pour asymptote la droite UV, dont l’équation est y = i', deux autres la droite GH,(x=2); deux autres la droite KL,(x=6). La courbe coupe l’axe desx aux points A,(x= — 3) etC,(x=l); l’axe des y

au point B, (y == — ; elle a deux tangentes parallèles à

l’axe des x, (y = — y — — 4^ ; ces tangentes correspon-

dent à un minimum et à un maximum de l’ordonnée. Les tangentes aux points A et C font avec l’axe des x des angles

dont les tangentes trigonométriques sont — — et + - .

Troisième exemple (Folium de Descartes).

238. La courbe , connue sous le nom de folium de Descartes, a pour équation , en coordonnées rectangulaires :

y 3 — 3axy-j-x*=0.

Cette équation ne peut être résolue ni par rapport à x ni par rapport à y ; mais, dans toute équation du troisième degré, on peut faire disparaître l’un des termes en j/s ou en xs par la transformation des coordonnées; la nouvelle équation, ne renfermant plus alors que le carré et la première puissance de l’une des variables , peut être résolue par rapport à cette variable. Dans l’exemple qui nous occupe, si l’on prend pour axes de coordonnées les bissectrices des angles formés par les anciens axes, l’équation devient :

(3a + 3x v/2)ÿ, + V2 — 3ax,=0,

on en tire, pour y et pour sa dérivée y' , les valeurs sui-

vantes :

La courbe étant symétrique par rapport à l’axe des x, nous ne nous occuperons que de la valeur positive de y. Cette valeur de y n’est réelle que si x est compris

entre — ^et— . Pourx= y est infini; de x= — ^

v/2 yfc Vy2

à x=0, y' est négatif, par suite y décroît de l’infini à zéro.

De x = O à x = y’ est positif et y croît de zéro à • V*

| \/3 — 6 j enfin y décroît depuis cette valeur maximum

jusqu’à zéro, lorsque x croît de à , puisque y' est alors

\J 2 \JÏ-

constamment négatif. La courbe est donc composée d’une

boucle fermée et de deux branches infinies ayant même asymptote , comme l’indique la figure

On voit que l’origine est un point double, c’est-à-dire un point par lequel passent deux branches de la courbe; ces deux branches

* \> yîv.

DES LIGNES COURBES EN GÉNÉRAL

correspondent aux deux combinaisons de signes que l'on peut former pour les radicaux qui composent la valeur de y ; en faisant dans la valeur de y' on obtient ces deux

valeurs !/'=-(- 1 , y'= — 1 , d’où il suit que les tangentes au point 0 ont pour équations :

ces droites ne sont autre chose que les axes auxquels la courbe était primitivement rapportée. ’ ■' - . " •

Remarque. Le folium de Descartes peut être construit et discyté de la manière la phi6 simple au moyen de son équation en coordonnées polaires. Si en effet on pose:

afrÉpcosu) , ' y=psin.ü), l’équation primitive

devient; . .. * ? ... *

3a si n w cos (jj

. >' fi— . s'~ I Ï-*

sin ’io 4- cos %

-Nous engageons le lecteur à étudier la courbe d’après cette équation.

* ' Quatrième exemple.