Toute équation à une inconnue

peut être considérée (T une infinité de manières comme résultant de l’élimination de y entre deux équations , renfermant les deux inconnues a; et y et qui, en conséquence, représentent deux courbes. Si l’on construit ces deux courbes, les abscisses des points d’intersection seront des racines réelles

de la proposée; mais il pourra se faire qu’on n’ait pas ainsi toutes les racines réelles. Effectivement, pour être assuré que deux courbes se coupent réellement, il ne suffit pas de savoir que l’abscisse de leur point commun est réelle, il faut encore que l’ordonnée le soit. Nous allons appliquer les considérations qui précèdent à la construction des racines de l’cquation du troisième et du quatrième degré.

244. Toute équation du troisième degré peut être ramenée à la forme

(t) x3 -(- px -J- q = 0.

1” On peut d’abord poser :

(2) y = x3 et y =—px — q; on sera conduit alors à construire la courbe

et la droite

y — — px — q;

les abscisses des points de rencontre seront les racines de l’équation (4).

2° On peut aussi poser :

(3) ay=x * et axy -\-px -^-q — 0-,

ces équations représentent une parabole et une hyperbole ; leurs points d’intersection indiqueront les racines de l’équation (1).

3° Enfin on peut substituer à l’équation (4) celle-ci : x' px 4 + qx = 0 .,

DES LIGNES COURBES EN GÉNÉRAL. 317

et poser

(4) ay = x* et y' + ^ y+ £ x=0 ; en ajoutant, on trouve :

»*+** + (£ — a'jy + lx = 0,

équation d'un cercle qui passe à l’origine; et on pourra substituer cette dernière équation à l’une des équations (4) ; on rejettera ensuite la solution x = 0.

245. L’équation du quatrième degré peut être ramenée à la forme

(1) x* -f px* + çx -f- r = 0 ; pour construire ses racines on posera :

(2) ay — x* et a'y'+pay +qx + r = 0 -,

les points de rencontre des paraboles représentées par ces équations, indiqueront les racines réelles de la proposée. On peut aussi résoudre la même question en déterminant, comme au n° précédent, les points de rencontre de l’une' des paraboles (2) et du cercle :

yt + ** + (a -a) y + a' X+ ? =0’

équation qu’on peut substituer à l’une des équations (2); alors la question sera ramenée à construire une parabole et un cercle.

246. Le problème, qui consiste à mener une normale à une ellipse par un point extérieur, conduit à une équation du quatrième degré, dont on peut construire les racines par l’in-

tersection d’une circonférence et de l’ellipse donnée. Cette méthode , connue depuis longtemps , a été reprise et développée par M. Catalan dans un article (") dont nous extrayons ce qui va suivre.

Les normales abaissées sur cette courbe par un point ( p , q) pris dans son plan seront déterminées par les équations

(2) e*XY — a’pY 4- VqX =* O ;

lesquelles donnent par l’élimination de Y :

(3) X‘-2 ^-pX>+ £ (ay+&Y c‘)X'+2 £pX- £

Afin de construire les racines de cette équation , essayons de combiner l’ellipse donnée avec un cercle. L’équation de ce cercle sera :

et si l’on cherche les abscisses des points communs de ces deux courbes , on trouvera qu’elles sont fournies par l’équation :

(5) at‘— 4 ^ + [2(«V + b* 6*) + C*ft*]*s

— 4 ~ tfa* 4- J ( — 46*6*)= 0 ,

dans laquelle

Maintenant, pour ramener l’équation (3) à l’équation (3), posons X~mx-, et identifions; il viendra:

(*) V<*ir U» nouvelles Annales de mathématiques , tome Vif.

DES LIGNES COURBES EN GÉNÉRA!

a=± 2(fl!a* -f 6*6*) + C*** = ~ (a Y + b’q' — c'

2m * tn'

Ces relations déterminent facilement a, S, K et ni. Kn effet ,

la première et la troisième donnent &’= r.

On tire ensuite de la quatrième , S* == ^ . Puis . de la

seconde; ' " • . '

; ' ÎTÎ,°V'-fr-e‘

■ ifj)'

Cette formule donrie pour m deuxr valeurs réelles, égales et désignés contraires : comme m est un rapport, on peut convenir.de prendre seulement la valeur positive. Alors

ê=zh-

+ c* + c‘Jby+t'’

,■ 2 èyVp* -|-e‘

• Hï=aî + 6‘ + <>.,+ ^.

Le centre et le rayon de la circonférence étant connus ’i s' l’on construit cette circonférence , et que l’on multiplie par m les abscisses des points communs aux deux courbes, on connaîtra les abscisses .des pieds des différentes normales menées 3 l’ellipse par le point donnél . . .

Si. l’on pose f=±~, ÿ = — , on obtient : . • '

320 GËOtoÉTRÏff ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS,

et ces dernières valeurs se construisent assez simplement, • -

247. La construction graphique des raciucs des équations algébriques ou transcendantes est souvent utile pour effectuer ultérieurement la résolution numérique j nous n’ajouterons rien à ce que nous avons dit précédemment au sujet dèséquations algébriques, et nous nous bornerons à examiner le cas d’une équation transcendante. Considérons l’équatioù :

. . (.!).■, • 2a: — -4sinx^-l=Q; '• v

les, racines de cette équation, seront les abscisses des peints communs à la courbe , ' ... - ‘ -

; (2). ' y = sinx* : „

et à la droite ’ •

La courbe (2) (fig. 136) est formée d’une' infinité de parties

. - lu * * “ ' .- * ' ‘ . V '• ■

üg; iS6,

telles que OÀG et OCL (n°237). Il est évident que la droite (3) rencontrera en unpointÀ la première des parties de la courbe ,; située du côté, des abscisses positives et qu’elle ne reneon- ' trera point les antres parties. L’équation proposée, n’a donc qu’une seule racine positivé et cètte racine O a est comprise

. ÇfcgiUzed by C>oogle

DES LIGNES COURBES EN GÉNÉRAL

entre - et * ; effectivement ces deux nombres substitués’ à x

dans le premier membre de l’équation (1) donnent des résultats de signes contraires.

La droite (3) ne peut évidemment rencontrer que la première des parties de la courbe situées du côté des abscisses négatives. Pour savoir s’il y a effectivement rencontre , nous allons chercher si la tangente parallèle à la droite (3) rencontre l’axe des y au-dessus ou au-dessous de cette droite; le coeffi-

cient angulaire de cette tangente étant -, on doit avoir,

pour le point de contact M,

cosx=-, d ou x=— - et y — — sm- = —

l’équation de cette tangente sera alors

La valeur absolue de l’ordonnée du point, où cette droite

coupe l’axe des y, est - y 3 — g, quantité plus grande que la

valeur absolue, OH= -, de l’ordonnée du point où la droite

(3) coupe l’axe des y. Il s’ensuit que la droite (3) coupe la courbe en deux points B et C dont les abscisses sont l’une

plas grande, l’autre moindre que — Sachant que l’équa-

tion a trois racines réelles, on pourra les calculer par les méthodes exposées en algèbre.

EXERCICES

Étude de quelques courbes.

I. Cissoïde de Dioclès. Par l’extrémité B du diamètre AB d’un cercle, on mène la tangente BC; par l’autre extrémité, on mène une sécante quelconque qui rencontre le cercle en U, et la tangente BG en C ; ensuite on prend sur AC, à partir du point A, AM = CD. Le lieu géométrique du point M est une courbe du troisième degré, qu’on nomme cissoïde de Dioclès.

II. Conchoïde. Étant donnée une droite BC et un point A situé à une distance a de BC, on mène par le point A une sécante, et on prend sur cette sécante, à partir du point P, où elle rencontre BC, des longueurs PM , PM' égales à une longueur donnée b. Le lieu des points M et M' est une courbe du quatrième degré connue sous le nom de conchoïde. La courbe affecte trois formes différentes suivant que l’on a 6>o, b — a ou 6<o. ‘

III. Ellipse de Cassini. Cette courbe est le lieu géométrique des points dont le produit des distances à deux points donnés est constant. En désignant par 2 a la distance des deux points donnés et par 6* le produit donné, la courbe présente trois formes très-différentes suivant que l’on a 6 > a , 6 = a ou b < a.

IV. Lemniscatk de Bernoulli. Cette courbe est un cas particulier de la précédente, c’est le lieu géométrique des points dont le produit des distances à deux points fixes est égal au carré de la demi-distance de ces points fixes. La lemniscate de Bernoulli est aussi le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du centre d’une hyperbole équilatère sur ses tangentes. L’équation de cette courbe en coordonnées polaires est p ‘ = 2a* cos2<d.

DES LIGNES COURBES EN GÉNÉRAL

V. Cycloïdf.. La cycloïde est la courbe engendrée par un point d’une circonférence qui roule sans glisser sur une droite tixe. Si l’on désigne par a le rayon du cercle mobile, que l’on prenne pour axe des x la droite lixe, et pour origine le point décrivant lorsqu’il est situé sur la droite tixe; que l’on désigne enfin par u> la quantité angulaire, dont le cercle a tourné lorsque le point décrivant a pour coordonnées x et y, on aura;

a; = a(<D — sino>), y=o(l — cos tu J.

VI. Epicycloïde. Cette courbe est le lieu engendré par un point d’une circonférence mobile, qui roule sans glisser sur une autre circonférence fixe. L’épicycloïde est dite intérieure ou extérieure, suivant qu’elle est située à l'intérieur ou à l’extérieur du cercle fixe.

Toute épicycloïde intérieure peut être engendrée de deux manières , savoir : par le moyen de deux cercles roulant intérieurement dans le cercle fixe et dont les rayons sont l'un plus grand et l’autre plus petit que la moitié du rayon du cercle fixe. Toutefois, si le rayon de l’ufi des cercles mobiles est égal à la moitié du rayon du cercle fixe , les deux cercles mobiles deviennent égaux et l’ épicycloïde est une ligne droite.

Toute épicycloïde extérieure peut être engendrée de deux manières, savoir: par le mouvement de deux cercles , dont l’un enveloppe le cercle fixe , dont l’autre est extérieur au cercle fixe.

Les coordonnées rectangulaires d’une épicycloïde quelconque s’expriment très-aisément en fonction de l’angle, que forme avec une droite fixe la droite qui joint les centres du cercle mobile et du cercle fixe. L’épicycloïde est une courbe algébrique, toutes les fois que le rayon du cercle mobile et le rayon du cercle fixe sont commensurables entre eux.

Courbes à construire.

I. Construire les courbes algébriques représentées par les équations :

■y — b-\-c(x — a)" = 0'. (Supposer successivement m jf—a*+'iax*y= 0. entiçr et fractionnaire-)

y*-j- xv — 2 «y3 — 26x’y = 0.

t/‘+ 2x’y,-|-x* — 6 axyî — 2oxs-f-2aîx,=0.

xy*-\-yx* — 1=0.

yi—Xi — x*. (Démontrer que l’aire de cette oourbe est la moitié de celle du cercle y*+ x*— at=0.)