CHAPITRE XI

DU SOMBRE DE CONDITIONS NÉCESSAIRES POUR LA DÉTERMINATION d’une COURBE DU SECOND DEGRÉ.

248. L’équation générale du second degré renferme six termes , mais le coefficient de l’un quelconque de ces termes peut être pris égal à 1 , en sorte qu’il ne reste en réalité que cinq coeflicients arbitraires ; on peut donc établir entre ces coefficients cinq relations ; en d’autres termes, on peut assujettir une courbe du second degré à satisfaire à cinq conditions.

En particulier, une courlie du second degré est déterminée, lorsqu’elle est assujettie à passer par cinq points donnés. Cependant , comme on pourrait craindre que les cinq équations, qui déterminent les coefficients de l’équation de cette courbe, ne fussent dans certains cas indéterminées ou incompatibles, il est important d’examiner la question dans ses détails. Nous allons démontrer que ces cas d’exception ne peuvent se présenter que lorsque quatre des points donnés sont en ligne droite.

Soient A, A',B,B',M les cinq points donnés par lesquels il s’agit de faire passer une courbe du second degré , et laissons de côté pour un moment le cas où trois d’entre eux seraient en ligne droite ; on peut évidemment supposer que les droites

AA' et BB' ne sont pas parallèles, puisqu’on peut changer les points les uns dans les autres ; désignons donc par O le point de rencontre des droites AA',BB' et prenons ces» droites pour axes des x et des y. La courbe demandée ne passant pas par l’origine, le terme indépendant des variables dans l’équation de cette courbe ne peut être nul ; on peut donc supposer qu’on ait tout divisé par ce terme , et l’équation sera :

(1) Ay’ + Bxy+Gr, + Dy + Ea5 + 1=0.

Désignons par a et a' les abscisses des points A et A', par b et b' les ordonnées des points B et B', enfin par x' et y” les coordonnées du point M; si l’on fait successivement y=0, x = 0 dans l’équation (1) , il vient :

(2) Or’ + Et + 1=0,

' (3) Ay* + Dy + 1=0,

les racines de l’équation (2) sont a et d, celles de l’équation (3) sont b et b', donc les quatre coefficients A, C, D, E sont déterminés ; on a :

aa

bb” bb'

Il ne reste donc plus, pour déterminer la courbe (1), qu’à exprimer qu’elle passe par le point M. Cela donne :

Ay” + B*y + Çr'* + Dy' + E* + 1 = 0 ,

d’oii l’on tire une valeur finie et déterminée pour le seul coefficient inconnu B. ' „

Si trois des cinq points donnés A, A' et M, par exemple, sont en ligne droite , il est clair que la seule courbe du se-

cond degré, passant par les cinq points, est celle qui est formée des droites AA' et BB'. Le problème est encore déterminé. Il n’y a indétermination que si quatre des points donnés sont en ligne droite. Alors on satisfait au problème , en prenant un système de deux droites dont l’une passe par quatre dès points donnés, et dont l'autre n’est assujettie qu’à la condition de passer par le cinquième point. Enfin le problème est doublement indéterminé si les cinq points donnés sont en ligne droite.