GM + MF = GM' + M'F

or, cette égalité serait impossible si les deux points M et M' étaient d’un même côté du point O sur KL , cAr alors l’une des lignes brisées GMF et G M'F envelopperait l’autre , et ces lignes terminées aux mêmes extrémités ne pourraient être égales." On voit donc que si l’on fait tourner la droite KL autour du point M de manière que M' se rapproche indéfiniment de M, le point 0, qui restera toujours sur la droite MM' entre les points M et M', se confondra avec M à la limite. Cela posé , la droite KL joint le sommet ( t du triangle isocèle ' F'OG avec le milieu de la base ; il en résulte que les angles F'OK et KOG sont égaux ; d’ailleurs KOG et FOL sont égaux comme opposés par le sommet ; donc F'OK == FOL. Ainsi, dans toutes les positions dé la droite KL, les rayons vecteurs du point O font avec KL et d’un même côté de cette ligne des angles égaux. A la limite, la droife KL se confond avec la tangente TT', le point 0 avec M , et l’on a

FÎT = FMT ,

ce qu’il fallait démontrer (*). '

Remarque I. La démonstration qui précède suppose que, dans toutes ses positions, la droite mobile KL laisse d’un même côté les foyers F et F'. Or cette hypothèse est légitime,

11 snffit pour la réaliser que le point mobile M' soit, à l’origine

(*) Cette démonstration , aussi simple que rigoureuse et élégante , m’a été communiquée par M. 1. A. Serret.

de son mouvement, du même côté de l’axe focal que le point 31 ; effectivement toute droite qui coupe l’axe focal entre les deux foyers ne peut avoir avec l’ellipse qu’un seul point commun de chaque côté de l’axe focal , puisque s’il en était autrement on aurait deux lignes brisées égales terminées aux foyers et dont l'une envelopperait l’autre, ce qui est absurde.

Remarque II. Le raisonnement dont nous avons fait usage, complété par ce que renferme la remarque I , prouve qu’une droite ne peut rencontrer l’ellipse en plus de deux points.

D’oii il suit que :

1° L’ne tangente à l’ellipse n’a qu’un seul point commun avec la courbe ;

2" L’ellipse est tout entière située d’un même côté de chacune de ses tangentes,

12. La tangente à l'ellipse en un sommet quelconque est perpendiculaire à l’axe qui passe par ce sommet.

K . B h En effet, considérons d’abord

le sommet A, et soit HL la tangente en A (fig. 7); les ^angles FAH et i A FAL étant égaux , chacun d’eux est droit; donc HL est perpendi-, culaire sur AA’. Le même raisonnement s’applique à la droite Kl tangente en A’. Soit, en second lieu,

a* flg. 7.

KH la tangente au sommet B ; les angles KBF' et HBF sont ‘égaux; ‘mais il est évident que les angles OBF'- et OBF le

sont aussi ; donc OBK=OBH, et KH est perpendiculaire sur BB'. Le même raisonnement s’applique à la droite IL tangente en B’.

U résulte de là que l’ellipse est inscrite dans le rectangle HKIL construit sur les axes.

MENER LA TANGENTE A L’ELLIPSE : 1» PAR UN POINT PRIS SUR LA r.OURRE; 2° PAR UN POINT EXTÉRIEUR. NORMALE A L’ELLIPSE.

15. Supposons d’abord qu’il s’agisse de mener la tangente en un point M d’une ellipse (fig. 8).

Tirons les rayons vecteurs MF et MF’; prolongeons l’un d’eux, MF par exemple, d’une quantité MG égale à l’autre , joignons GF' et abaissons du point M la perpendi-

diculaire TMP sur F'G; cette per-

*■ pendiculaire sera la tangente de-

mandée.

En .effet , le triangle F'MG étant isocèle , la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base partage l’angle F'MG en deux parties égales ; on a donc F'MP = GMP. Mais les angles GMP et TMF sont égaux comme opposés par le sommet ; donc F’MP — FMT, donc MT est tangente.

Remarque. Si l’on joint le centre O milieu de FF’ au point P qui est le milieu de F'G, la droite OP sera parallèle à FG et égale à la moitié de FG , c’est-à-dire à a. Il résulte de là que la distance du centre de l’ellipse aux pieds des perpendiculaires abaissées d’un foyer sur les tangentes est constante et égale au demi grand axe ; -ou, en d’autres termes, le lieu géométrique des pieds des perpendiculaires abaissées des foyers . dune ellipse sur les tangentes est la circonférence décrite sur . le grand axe comme diamètre.

14. Proposons-nous maintenant de mener une tangente à l’ellipse par un point T extérieur à la courbe (fig. 9). Supposons pour un moment, le problème résolu ; soient TM la tangehte demandée et M le point de contact. Tirons les rayons vecteurs

lig. 8.

MF , MF' et prolongeons l’un d’eux , MF par exemple, d’une

quantité MG égale à l’autre; joignons ensuite F'G, F'T et GT.

La tangente MT, divisant en deux . parties égales l’angle au sommet ; du triangle isocèle F'MG, sera perpendiculaire à GF' et passera par le milieu P de cette ligne ; on aura, par suite , TG = TF'; d’ailleurs ,'FG = 2a; donc le point G peut être déterminé par l'intersection de deux circonférences, l’une décrite du foyer F comme centre avec le rayon 2 a, l’autre décrite du point donné T comme centre avec le rayon TF'. Le point G étant connu , on le joindra au foyer F', et l’on abaissera du point T la perpendiculaire TP sur F'G ; cette perpendicu laire sera la tangente demandée, et le point M, où elle rencontre FG, sera le point de contact.

En effet, on a , par construction, TG == TF' , donc TP est pérpendieulaire sur le milieu de F'G : donc MF' = MG , et par conséquent MF + MF' = 2a, ce qui prouve déjà que le point M est sur l’ellipse. En second lieu l’angle F'MP = GMP = FMT ; donc MT est tangente.

Nous avons vu que le point G est déterminé par l’intersection de deux circonférences ; or deux circonférences se rencontrent généralement en deux points, il y a donc deux solutions et par le point donné T on peut mener deux tangentes à l’ellipse. Il est facile , en effet , de démontrer que les deux circonférences décrites des points F et T comme centres, avec des rayons égaux à 2a et à TF' respectivement, se rencontrent toujours en deux points , si , comme nous le supposons, le point T est extérieur il l’ellipse. Joignons FT ; le point T étant extérieur à l’ellipse , on a (n° 8' 2a < TF -f- TF';

d’ailleurs dans le triangle TFF' on a TF < FF' + TF . et , à fortiori , TF < 2a -f- TF'. Cela prouve que nos deux circonférences se rencontrent toujours en deux points , car la distance des centres est moindre que la somme des rayons, et le plus grand rayon est moindre que la somme du plus petit et de la distance des centres.

Si le point T était sur l’ellipse , on aurait 2a = TF -j- TF'; alors le plus grand rayon serait égal à l’autre augmenté de la distance des centres, .et les deux circonférences se toucheraient intérieurement. Dans ce cas il n’y a plus qu’une seule tangente et l’on retombe sur la construction donnée précédemment.

Si le point T était intérieur à l’ellipse, on aurait 2a > TF -f- TF ; alors l’un des rayons serait plus grand que l’autre augmenté de la distance des centres; les deux circonférences seraient intérieures l’une à l’autre, et il n’y aurait plus de tangente. . ' .

15. La propriété démontrée au n“ 11 fournit encore un moyen très-simple deinenér à l’ellipse une tangonte parallèle

à une droite donnée. Soient F et F' les foyers de l’ellipse Uig. UJ) et CD la droite à laquelle la tangente doit être j>arallèle. Si le problème était résolu, que TP fut la tangente demandée et -M le ponit de contact, en joignant FM et prenant sur cette direction iîg I0.. , FG = 2a, la ligne F'G serait per-

pendiculaire sur TP et par suite sur CD. 11 résulte de là que le point G peut être déterminé par l’intersection de la perpendiculaire abaissée de F' sur CD avec la circonférence de rayon 2 a et décrite du point F comme centre. Le point.G étant connu , on le joindra au point F et, par le milieu P de GF', on mènera

Ifi

TP parallèle à CD ; cette parallèle sera la tangente demandée et le point M où.elle rencontrera GF sera le point de contact.

En effet, joignons AiF'; la ligne TP étant perpendiculaire sur le milieu de GF' par construction, on a GM = F'M; donc MF -f- MF' — 2a ; ce qui prouve déjà que le point M est sur l’ellipse. En second lieu l’angle F MP = GMP = FMT; donc - TP est tangente.

Le point G est déterminé par l’intersection d’une droite et d’un cercle, lesquels se coupent généralement en deux points.

11 peut donc y avoir deux solutions ; or je dis que les deux solutions ont lieu dans tous les cas,- en effet le rayon du cercle 2a est plus grand que FF' et, à fortiori, plus grand que la distance de son centre F à la droite F'G.

Remarque. La construction de la tangente, dans les trois cas que nous venons d’examiner, ne suppose pas que la courbe soit tracée; il sutlit de connaître les foyers et la longueur du grand axe. Quand on construit une ellipse par points, il est convenable de mener les tangentes aux points qu’on a déterminés ; elles permettent d’obtenir un dessin plus exact.

16. La normale àl' ellipse en un point partage en deux parties égales l'angle des ragons vecteurs de ce point.

En effet, soit TT’ la tangente à une ellipse en M (lig. 11) et MN la normale; tirons les rayons vecteurs MF et MF’; on a •

FMT =T 'MT',

NAIT = N MT = un droit ,

FMN = F'MN ,

ce qu’il fallait démontrer.

donc

lu INTRODUCTION A LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

DÉFINITION DK LA PARABOLE , PAR LA PROPRIETE DU FOYER ET DR LA DIRECTRICE. — TRACÉ DE LA COURBE PAR POINTS ET ü'iN MOUVEMENT CONTINU. AXE. — SOMMET. — RAYON VECTEUR.

17. La parabole est une courbe plane dont chaque point est également distant d’un point fixe et d’une droite fixe. Le point fixé est dit le foyèr et la droite fixe est dite la directrice de la parabole.

18. On peut construire aisément autant dè points qu’on veut de la parabole quand on se donne le foyer et la directrice.

Soient F le foyer et^DD' la directrice (fig. 12). Abaissons du foyer une perpendiculaire EE' sur la directrice et .soit E ty:

point de rencontre. Il est clair que le milieu S de FE appartient à la parabole et que ce point est le seul qui soit Commun à EE’ et à la courbe.

Pour avoir d’autres points, soit P un point quelconque de SE'; menons par ce point MAI' perpendiculaire à EE', et décrivons, du point F comme centre; une ciroonférence d’un rayon égal à PE ; cette circonférence rencontrera la droite MM' en deux points M et M' qui appartiendront à la parabole. Je dis d’abord qu’il y aura rencontre pourvu que le point P soit situé sur la partie indéfinie SE' de la droite EE', car alors le rayon EP sera plus grand que la distance du centre F à la droite. En second lieu, les points M et M' appartiendront à la courbe; car, pour le point M par exemple, on a FM = EP = MN. On aura de cette manière autant de points qu’on vou-

flg. u.

notions sur quelques courbes usuelles.

■fc

dra de la parabole , et comme le point P peut avoir toutes les positions sur la droite indélinie SE', il s’ensuit que la courbe s’étend à l’infini au-dessus et au-dessous de la droite EE'. On voit en outre que la courbe est tout entière située d’un même côté de la droite VV' menée par le points parallèlement à la directrice , et qu’elie n’a avec cette droite que le seul point commun S.

Quand on aura ainsi construit des points assez rapprochés les uns des autres, on les joindra par un trait continu, et une portion de la courbe sera tracée par points.

19. On pedt aussi tracer d’un mouvement continu une portion de parabole aussi étendue qu’on le veut. Soient DD’ la directrice, F le foyer (fig. 43), et supposons qu’on veuille tracer la portion de parabole comprise entre la directrice et une parallèle KK' située à une distance de la directrice égale à EH. On prendra une équerre ABC dont un des côtés de l’angle droit AC soit égal à EH; on prendra aussi un fil de même longueur ; on fixera l’une des extrémités de ce fil au foyer F et l’autre extrémité au sommet C de l’équerre ; on placera une règle suivant la directrice et l’on appuiera l’équerre sur la règle de manière que le sommet A soit en E et le sommet C en H. Cela posé, si l’on fait glisser l’équerre de E vers D et que l’on tende le fil par le moyen d’un style appliqué sur CA et muni d’un crayon , la portion SMK de la parabole se trouvera tracée par le crayon. On décrira par le même moyen la portion SK'. Il

est aisé de justifier, la construction précédente. Considérons en effet l’équerre dans une quelconque de ses positions , et soit M le point occupé par le style; le fil forme la ligne brisée CMF , mais la longueur de ce fil est EH ou CA , donc

CM + MF = CM + M A ou MF = MA ;

donc le point M a décrit une portion de parabole.

20. 11 résulte de ce qui a été dit au n° 18 que la perpendiculaire abaissée du foyer sur la directrice est un axe pour la parabole. Effectivement les perpendiculaires à cette droite rencontrent la parabole en deux points symétriques par rapporté la droite. Le point où l’axe rencontre la parabole est dit le sommet de la courbe.

' 21 . Dans la théorie de la parabole on nomme rayon vecteur la distance du foyer à un point quelconque de la figure. Ainsi

Le rayon vecteur dun point de la parabole est égal à la distance de ce point à la directrice.

Il est bon de remarquer que la parabole sépare les points du plan dont le rayon vecteur est plus grand que la distance à la directrice de ceux pour lesquels ce rayon vecteur est plus petit que la distance à la directrice. En d’autres termes , si l’on appelle points intérieurs à la courbe ceux qui comme le foyer sont compris dans l’espace indéfini formé par les deux branches de la courbe, et points extérieurs ceux qui ne sont point situés dans cet espace , on a ce théorème :

Le rayon vecteur d’un point du plan de la parabole est inférieur ou supérieur à la distance de ce point à la directrice , suivant qu'il est intérieur ou extérieur à la courbe.

En effet, soient F le foyer et DD' la directrice (fig. 1-4); t° P étant intérieur à la courbe , menons PMN perpendicu-

laire à la directrice , et soit M le point de rencontre avec In

courbe; le triangle FMP donne PF<MP~f MF. mais MF = MN, donc '