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LA TANGENTE FAIT DES ANGLES EGAUX AVEC LA PARALLELE A L AXE ET LE RATON VECTEUR , MENES PAR LE POINT DE CONTACT.

22. La démonstration de ce théorème est presque identique à celle dont nous avons fait usage au n° \\. Toutefois, pour la dégager de ce qui est accessoire, nous démontrerons à part le lemme suivant sur laquelle ellè repose.

Lemme. Soit ABCD un trapèze rectangle en A et B (fig. t5), si l’on prend un point E dans l’intérieur de ce trapèze, qu’on le joigne au point C et que l’on abaisse EF perpendiculaire sur

AB , la ligne brisée CEF ainsi obtenue sera plus courte qtie la ligne brisée CDA.

En effet , foisons tourner la figure autour de AB, de ma-

nière à la rabattre sur la portion du plan qui est situé de l'autre côté de AB. Les points C, D, E viendront sc placer en C',D',E'. Or les angles en A et B étant droits, les lignes DAD', GBC’ sont droites, et la ligne brisée CDD'C' est plus grande que la ligne enveloppée CEE'C', donc CD-f-DA, qui est moitié de CDD'C', est plus grand que CE + EF, qui est moitié de CEE'C'.

Ît3. Démontrons actuellement le thorème énoncé. Soient F

le foyer, DD’ la directrice de la parabole et M le point de la courbe où nous voulons considérer la tangente (fig. 16). Menons par ce point M et par un second point M' de la courbe la sécante KL, et cherchons quelle sera la limite de cette sécante, lorsque le point M' se mouvant sur la courbe

A. Abaissons' Fl perpendicu-

. laire sur KL, et prolongeons-la d’une quantité IG = FI ; joignons les points M et M' à chacun des points F et G; puis, par les points M,M' et G, menons MP, M'P', et GO perpendiculaires à la directrice. Soient enfin m, m' et o les points où ces perpendiculaires rencontrent une parallèle HH' à la directrice , située à une distance quelconque de cette directrice, mais cependant assez grande pour que les points M et M' soient l’un et l’autre dans la bande comprise entre DD’ et et HH'. Je dis que le point 0 où GO rencontre KL sera toujours situé entre les points M etM', comme l’indique la figure. En effet, on a MP + Mm = MP* + M'm’ comme parallèles comprises entre parallèles; d’ailleurs MP — MF = MG, de

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même M'F=M'F = M'G; donc MG -j- Mm = M’G -f- Mm'. Ainsi la ligne brisée GMm est égale à la ligne brisée GM’m'. Or, d’après le lemme démontré en commençant , cette égalité serait impossible si le point M était entre O et M', ou le point M' entre O et M. On voit donc que si l’on fait tourner la droite KL autour du point M , de manière que M' se rapproche indéfiniment de M, le point 0 se confondra avec M à la limite. Cela posé, la droite KL joint le sommet O du triangle isocèle FOG au milieu de la base; il en résulte que les angles FOK .et KOG sont égaux; d’ailleurs KOG et LOo sont égaux comme opposés par le sommet; doncFOK=LOo. Ainsi , dans toutes les positions de la droite KL, le rayon vecteur du point O et la parallèle à l’axe menée par ce point, font avec KL, et d’un même côté de cette ligne, des angles égaux. A la limite la droite KL se confond avec la tangente TT, le point O avec M, et l’on a

FMT =• roMT' , ce qu’il fallait démontrer.

Remarque I. La démonstration suppose que la droite KL ne rencontre jamais la partie indéfinie FE' de l’axe , mais l’autre paitie indéfinie FE. Cette hypothèse est réalisée, si l’on prend le point M' du même côté de l’axe que le point M , car il est facile de démontrer, en s’appuyant sur le lemme du n° 22, que toute droite qui rencontre la portion de l’axe comprise dans la courbe, et quia pour origine le foyer, ne peut avoir qu’un seul point commun avec la courbe d’un même côté de l’axe. Remarque U. Ce qui précède fait voir qu’une droite ne rencontre jamais la parabole en plus de deux points, d’où il suit que : ' • •

1° Une tangcnte-à la parabole n’a qü’un seul point commun avec la courbe ;

52 IiNTRODUCTION a la géométrie analytique.

2° La parabole est tout entière située d’un même côté de chacune de ses tangentes. ,<

Remarque pi. On voit encore aisément que la tangente au sommet de la parabole est perpendiculaire à l’axe.

HENER LA TANGENTE A LA PARABOLE 1 1° PAR UN POINT PRIS SUR LA COURBE ; 2° PAR UN POINT EXTERIEUR. — NORMALE. — SOUS- NORMALE.

24. Supposons d’abord qu'il s’agisse de mener une tangente en un point M d’une parabole (fig t7). Soient F le foyer et DD' la directrice; joignons MF, abaissons FE perpendiculaire sur DD', prenons . FT;= MF et joi- , gnons 4e point T an point M ; la ligne MT sera la tangente demandée. •

En effet , menons par le point M la droite PQ perpendiculaire gur la directrice? le triangle MFT étant isocèle, l’angle TMF=MTF; d’ailleurs MTF et T'MQ sont égaux comme correspondants, donc TMF = T'MQ; donc MT est tangente. G

Remarque. Joignons FF; le trjangle FMP est isocèle, la tangente TT' partage évidemment l’angle au sommet en deux parties égales. Il s’ensuit qu’elle est perpendiculaire sur. PF, et que le point I où elle la rencontre est le milieu, de PF; par conséquent si du point I on abaisse une perpendiculaire sur EF , cette perpendiculaire passera par le<milieu dp EF; ce sera donc la tangente au sommet de la parabole. Il résulte de

lig. IT.

là que la tangente au sommet de la parabole est le lieu géométrique des pieds des perpendiculaires abaissées du foyer sur les tangentes à la courbe.