SECOND DEGRÉ. ÉTANT DONNEES LES EQUATIONS DE DEUX COURBES

DO SECOND DEGRÉ, TROUVER L’ÉQUATION GÉNÉRALE DES COURBES DU SECOND DEGRÉ QUI PASSENT PAR LES QUATRE POINTS u’iNTER- SECTION DES DEUX PREMIÈRES. DISPOSER DE L’INDÉTERMINÉE QUE RENFERME CETTE. ÉQUATION , DR MANIERE QU ELLB PUISSE SB DÉ- COMPOSER EN DEUX FACTEURS DU PREMIER DEGRÉ.

U49. Soient

=At/s -f Baiy -f Gx, + üy-|-Er + P = 0,

1 ' U' = A'ÿs + B'xy + C'a:’ -f- D’y + E'x + F = 0 ,

les équations de deux courbes du second degré. L’équation

(2) M-fXM’ = 0,

où X est une indéterminée, sera l’équation générale des courbes du second degré qui passent par les quatre points d’intersection des courbes (1). En effet, il est d’abord évident que la courbe représentée par l’équation (2) passe par les points communs aux courbes (1); en second lieu, elle peut représenter toute courbe du second degré qui passerait

par ces quatre points et par un cinquième (as', y') ; car, à cause de l’indétermination de X, on peut faire en sorte que l’équation (2) soit satisfaite pour x=x', y = y - La condition pour que l’équation (2) représente deux droites est (n° 99) :

(A+ XA') (E+ XE')*— (B+XB') (D+XD')(E 4-XE')+(C + *C') (D + XD')4 + (F + XF) [(B + XB')4 — 4( A + XA') (C + XC')] = 0.

Cette équation est du troisième degré, elle a donc toujours une racine réelle. Cette racine étant connue , on aura aisément les équations de deux droites passant par les points communs aux deux courbes (1). La recherche de ces points communs est donc ramenée à trouver l’intersection de l’une de ces courbes avec chacune des deux droites.

Remarque. Si les deux courbes se coupent en quatre points réels, les trois racines de l’équation en X seront réelles. On peut effectivement faire passer, par quatre points donnés, trois systèmes de deux droites.