OBLIQUE A BASE CIRCULAIRE

Des sections planes du cône droit.

ado. On nomme cône droit la surface engendrée par une droite qui tourne autour d’une droite fixe en passant constamment par un même point de celle-ci , et faisant avec elle un angle constant. La droite fixe est dite l’are du cône; la droite mobile, considérée dans une quelconque de ses positions, en est une génératrice *; le point de rencontre de la génératrice et de l’axe est le sommet du cône. On voit que le cône droit est une surface illimitée; le sommet partage la génératrice en deux parties indéfinies qui engendrent chacune une nappe de la surface.

Tout plan, perpendiculaire à l’axe, coupe le cône suivant un cercle; tout plan, mené par le sommet et par deux points de la surface du cône coupe cette surface suivant un système de deux droites, qui peut être considéré comme constituant une ligne du second ordre.

Nous allons démontrer généralement que toute section

faite dans un cône droit par un plan est une courbe du second degré. Soient S (fig. 137) le sommet d’un cône droit donné, H AH' l’intersection de ce cône par un plan P; menons, par l’axe ZZ', un plan perpendiculaire à celui de la section ; ce plan coupera le plan P suivant la droite Ax et le cône suivant les génératrices BB' et CC'. Nous poserons SA=d, 8Ax = a, B8Z = 6; l’angle ê est compris entre zéro et 90° ; l’angle a est comnris entre zéro et 180°.

ug. i jo r

Prenons pour axe des x la droite Ax et pour axe des y la droite Ay , menée perpendiculairement à celle-ci dans le plan de la section. Soit MP l’ordonnée d’un point M de la courbe; par le point M , menons un plan perpendiculaire à 1 axe du cône ; ce pian coupera le cône suivant un cercle ayant pour diamètre EF ; en sorte qu’on aura :

EPXPF.

sin a

COsê’

en second lieu , si l’on tire les droites AI et PK, respectivement parallèles à EF et BB', il vient :

PF = KI = 2dsin6 — AK;

mais le triangle PAK donne :

AK sin (a -|- 26)

x """" co s 6

D’après cela l’équation (1') peut s’écrire :

; sin (« ■ coss6

, 2d sin a sin 6 sin a sin (a + SK) .

,2) >=— ÏSe-1-- — lx

ce qui montre que les sections planes d’un cône droit sont des courbes du second degré.

L’équation (2) représente une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que a-}- 26 est inférieur, égal ou supérieur à 180". Dans tous les cas la droite kx est l’axe focal de la courbe.

231. Examinons maintenant si une courbe du second degré donnée peut être placée sur un cône droit donné. Dn a vu que toutes les courbes du second degré peuvent être représentées par l’équation

(3) y * = 2 px + qx * ;

x et y désignant des coordonnées rectangulaires et l’abscisse x étant comptée sur l’axe focal. Cette équation a la même forme qpe l’équation (2) et , pour qu’elle représente la même courbe que celle-ci, il faut et il suffit que l’on ait:

... d sin a sin 6

' cos 6 r

sin a sin (« cos !6

Il s’agit de savoir si l’on peut tirer pour d et a des valeurs réelles en supposant que y, q et 6 soient des quantités données. L’équation (o) détermine a; et si on en tire une valeur réelle, on aura aussi une valeur réelle de d par le

moyen de l’équation (1). Il suffit donc que l’équation (5) donne pour a une valeur réelle. En remplaçant sin a sin (a + 26) cos 26 — cos (2a + 26)

par — : — - , cette équation devient :

(6) cos(2a + 26)=2(7+l)cos*6 — 1.

Si la courbe donnée est une parabole ou une ellipse, q est nul ou négatif, et, dans ce dernier cas, sa valeur absolue est inférieure à 1 ; donc cos (2a + 26) est compris entré — 1 et -fl et, par suite, a est réel.

Donc on peut toujours couper un cône droit donné suivant me parabole ou une ellipse donnée.

Quand la courbe donnée est une hyperbole , q est positif. Si, alors, 2(çr + l )cos!6 — 1 est négatif, cos(2a-}-26) est compris entre 0 et — 1 , et , par suite , a est réel. Mais si 2(7 + l)cos!6 — 1 est positif, il faut que l’on ait:

2(7 + 1) cos -6 — 1<1, ou 2(^ + 1) cos *6 — 1=1,

pour qu’on puisse avoir une valeur réelle de a; on déduit de là:

cos-6< ou = — — .

Si l’on désigne par 2a et 26 les axes de rhyperbolo*doimée

et que l’on fasse, à l’ordinaire, c’=a!+ 6S ; on a q — — , et la condition précédente devient :

cos a 6 < ou = — , c*

d'où l’on tire :

cos6.< ou = -.

On conclut de là ce théorème : pour qu’on puisse couper un cône droit donné suivant une hyperbole donnée , il faut et il suffi que l’anyle du cône soit supérieur ou au moins égal à l’angle des asymptotes de l’hyperbole.

Les courbes du second degré pouvant toujours être placées sur la surface d’un cône droit, on a donné à ces courbes le nom de sections coniques, et on les désigne aussi par la simple dénomination de coniques.

Étude géométrique des sections planes du cône droit.

252. On peut, par de simples considérations géométriques, établir une propriété générale commune aux sections coniques et qui suflit pour établir leur identité avec les courbes du second degré.

Menons par l’axe SZ du cône (fig. 138) un plan perpendiculaire au plan de la section considérée. Ce plan coupera le cône suivant deux génératrices SV et SV'. Quant au plan de la section , il coupera le plan VSV' suivant une droite Ax et le cône suivant une courbe telle que AM.

Cela posé, construisons un cercle tangent en B. C et F aux génératrices SV, SV' et à la droite Ax; si l’on conçoit que la génératrice SV tourne autour de l’axe pour engendrer le cône, le cercle CBF engendrera une sphère inscrite dans le cône et tangente au plan MAx; en

334 géométrie analytique a deux dimensions.

effet, le rayon OF, étant situé dans le plan VSV' et étant perpendiculaire à Ax, est par suite perpendiculaire au plan MAæ; il suit de là que toute droite menée, par le point F, clans le plan MAx, est tangente à la sphère. Dans le mouvement de la génératrice SV autour de l’axe, le point D décrit un cercle dont le plan BNC est perpendiculaire à VSV'; par conséquent le plan VSV' est perpendiculaire à l’intersection des plans BNC et MA*. On aura évidemment cette intersection, en prolongeant Ax jusqu’à sa rencontre en H avec l!C et menant, par le point H, Hy perpendiculaire au plan VSV'. Soit maintenant M un point quelconque de la section conique AM; menons, par ce point, un plan perpendiculaire à l’axe : ce plan coupera le cône suivant le cercle DME , le plan VSV’ suivant DE et le plan de la courbe suivant MP. Cette droite MP, intersection de deux plans perpendiculaires à VSV', sera elle-même perpendiculaire à VSV' ; par suite, elle sera parallèle à Ily. Donc , si par le point M on mène MK parallèle à PH , cette droite rencontrera Hy en un point K et , dans le parallélogramme MPHK , on aura :

(1) MK = PH.

Si l’on joint MS, cette droite sera tangente à la sphère en un point N ; or la droite MF l’est aussi ; donc MF et MN sont égales, comme tangentes à une sphère, issues d’un même point ; d’ailleurs il est évident que MN est égale à BD , on a donc :