MF AB MK — AH

Donc: dans toute section conique, autre que celles qui passent par l’axe ou sont perpendiculaires à l'axe, le rapport des distances d'un point de la courbe à un point fixe et à une droite fixe est constant.

Si l’on désigne par a l’angle générateur du cône, par » l’inclinaison du plan de la section sur Taxe , le triangle ABH donnera :

AB sinAHB cost

AH sin HBA cos a "

Donc

MF cosi

M K co s a ‘

Ce qui précède suffit pour établir que :

1“ Les sections planes du cône droit sont des courbes du second degré ;

2° Une courbe du second degré donnée peut toujours être placée sur un cône droit donné, à moins que l’angle des asymptotes de la courbe, si celle-ci est une hyperbole, ne soit plus grand que l'angle du cône ;

Propositions que nous avons établies par le calcul aux n°* 250 et 251.

Des sections planes du cylindre droit.

2o3. On nomme cylindre droit la surface engendrée par une droite qui se meut parallèlement il un axe fixe, en restant constamment à la même distance de cet axe. Il

, uCMGnuK » ■**

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L“i p»««a*t à FM* '* S^rletoiSe-

aux sections cylindriques. faite dans un cy-

Nous allons démontrer que ^ ^ ^ un plan non

parallèle à l’axe, est une ellipse.

SoitïlAH'lfig. 139) la section faite dans le cylindre; menons par l’axe un plan perpendiculaire au plan de la section, qui coupe celui-ci suivant la droite A.r et le cylindre suivant les

génératrices BB',CC'. Nous désignerons par a l’angleB' A*; cet angle est compris entre zéro

et 180°. .. »r et nour axe des y la

Prenons pour axe des x la droi ^ ^ dans ie plan de droite Ay, menée perpendiculaue de la courbe;

,a section. Soit MP 1’°" " ^cndiculaire à l’axe du par le point M menons u® suivant un cercle, ayant cylindre ; ce plan coupera 1 y

pour diamètre EF, et on aura:

(1) mp1 =epxPF;

le triangle AEP donne :

EP = x sin * ,

et, en désignant EF par 2r , on a :

PF = 2r — xsina.

D’après cela, l’équation (1) peut s’écrire :

(2) y,=xsina(2r — xsina) ou y-*=2r\rsina — x’sin**.

Cette équation représente une ellipse dont Ax est l’axe focal ; en désignant par 2a le grand axe et par par 26 le petit axe , on a :

— =rsina et -=sin!a, a a *

d’où

b = r et a — — — .

sina

Il suit de là que : les sections planes d’un cylindre droit sont des ellipses , ayant pour petit axe le diamètre de la section droite du cylindre (qu’on nomme ordinairement le diamètre du cylindre). Il résulte encore de là que : on peut placer une ellipse donnée sur un cylindre droit donné , lors que le petit axe de l'ellipse est égal au diamètre du cylindre.

Section anti-parallèle.

2;»4. On nomme cône oblique à base circulaire la surface engendrée par une droite mobile , assujettie à passer par un point donné et à s’appuyer sur une circonférence donnée. Le point donné est le sommet du cône et la circonférence donnée

est la base. On voit que le cône droit est un cas particulier du cône à base circulaire.

On peut démontrer aisément , par une marche analogue à celle que nous avons suivie , que les sections planes du cône oblique à base circulaire sont des courbes du second degré. Mais nous nous bornerons ici à établir qu’il existe un système de sections circulaires autres que celles qui sont parallèles à la base.

Soient S le sommet d’un cône oblique à base circulaire ;

AB la base (fig. 140); s joignons le sommet au centre 0 de la base, et, par la droite SO, menons un plan perpendiculaire au plan de la base, qui coupe celui-ci suivant la droite AB et le cône suivant les génératrices SA, SB. Soit IM K la section faite par un plan perpendiculaire au plan ASB. Menons l’ordonnée MP d’un point M de la section et , par le même point M , un plan parallèle à la base du cône ; l’intersection de ce dernier plan et du cône sera un cercle ayant pour diamètre EF, de sorte qu’on aura :

(1) lP*=EPxPF.

Si la section IM K est aussi un cercle, on aura :

(ï) mp* = îpxpk,

et, par suite,

d’où :