DU PÔLE ET DE LA POLAIRE D’OR POINT PAR RAPPORT A DRE CONIQUE

SM. Soit

(I) Ay* + Bxy -p Cx*-p Dy -p Ex-p F = 0,

une équation quelconque du second degré; les dérivées du premier membre par rapport à z et par rapport à y sont : By+2Cz-t-E , 2Ay+Bz+D. Soient z' , y' les coordonnées d’un point quelconque M du plan de la conique représentée par l’équation (I); l’équation du premier degré

(2) (2Ay'+ Bz'-f- D)y+ (By'+ 2Cz'+ E)z+ Dy'+ Ez'+ 2F- 0,

représentera une droite D qui est dite la polaire du point M par rapport à la courbe. Réciproquement le point M est dit le pôle de la droite D. Il est important de remarquer que si le point (z1, y') est sur la courbe(t), l’équation (2) est celle de la tangente en M à la courbe (n* 120); d’où il suit que la polaire d’un point de la courbe n’est autre chose que la tangente en ce point. On voit que l’équation de la polaire de l’origine des coordonnées est simplement :

Dy + Ez-f 2F = 0.

15). Toutes les propriétés des pôles et polaires découlent immédiatement d’un seul principe , que l’on peut énoncer de l'une des deux manières suivantes :

Étant donnés deux points M et M', si la polaire de M , par rapport à une conique , passe par M', réciproquement , la polaire de M' passera par M ; ou , étant données deux droites D et D', si le pôle de D est sur D', réciproquement le pôle de D' sera sur D..

Ce principe résulte de ce que l’équation (2) ne change pas quand on change x et y en x' et y' et réciproquement; en d’autres termes, si l’on représente , pour abréger, l’équation (2) par

on aura l’identité :

Cela posé, soient les deux points Mtx1, y1) , M'(x", y"); les polaires D et D' de ces points auront pour équations :

Or si le point M' est sur D, on a l’identité :

qu’on peut écrire aussi ;

elle exprime alors que le point M est sur D’.

251 Ce qui précède permet de traduire géométriquement la définition analytique que nous avons donnée de la polaire d’un point.

Soit» un point extérieur à une conique; menons, par ce point, deux tangentes à la courbe, désignons par A et B les points de contact et tirons AB; je dis que AB est la polaire du point M; en effet, le point M est sur la droite MA qui est la polaire du point A, donc la polaire du point M passe par le point A ; le même raisonnement prouve qu’elle passe par le point B ; c’est donc la droite AB. 11 résulte de là que :

La polaire d'un point extérieur à une conique, par rapport à cette courbe, est la ligne qui joint les points de contact des tangentes menées à la conique par le point.

Mais on peut comprendre dans une même définition le ras du point intérieur et celui du point extérieur. Soit M un point quelconque intérieur ou extérieur à une conique; menons par ce point M une sécante quelconque qui coupe la courbe en A et B; enfin, par les points A et B menons à la courbe des tangentes qui se coupent en P. D’après ce qu’on a vu plus haut , AB est la polaire du point P , d’ailleurs elle passe par le point M , donc la polaire du point M passe par le point P; il résulte de là que :

La polaire d’un point quelconque M par rapport d une conique est le

APPENDICE

lieu géométrique des sommets des angles circonscrits à la conique et dont les cordes de contact arec celte conique passent par le point M.

Remarque. H est évident que cette déûnition embrasse même le cas où le point M est sur la conique elle-même.

La proposition précédente fournit un moyen de trouver la polaire d’un point donné par rapport à une conique; il est aisé de voir qu'elle permet aussi de trouver le pôle d’une droite donnée. Kiïeelivemcnt, si par un point de la droite donnée on mène deux tangentes à la conique, la droite qui joindra les points de contact passera par le pôle cherché. En opérant de même pour un second point de la droite donnée, on aura une seconde corde de contact qui, par son intersection avec la première , déterminera le pôle.

«a». Si , par un point P quelconque (fig. 141) situé dans le plan d'une conique, on mène deux sécantes qui rencontrent la conique, la première en A et A’, la seconde en B et B’; que Ton joigne AB et A’B' qui se coupent en N , AB' et BA' qui se coupent en M , la ligne MN sera la polaire du point P.

Eu effet, prenons pour axe des x la sécante PAA' et pour axe des y la sécante PBB' ; désignons en outre par a et a’ les abscisses des points A etA', par b et 6' les ordonnées des points B et B'. Les équations des droites AB et A’B' seront :

celles des droites AB' et B A' seront :

il est aisé de voir, d’après cela , que la droite MN a ponr équation :

(3) (ï+sO*+G+f)v=S-

En effet , l’équation (3) est obtenue en ajoutant membre à membre, soit les équations (I), soit les équations (2) ; la droite qu’elle représente passe donc par le point de rencontre des droites (1) et par le point de rencontre des droites (2). Cela posé, soit

Ay* + Bxy 4- Cx* + Dy + Ex 4- F =0

l'équation de la conique donnée; en y faisant successivement y=0 et x=0, il vient :

Cx* 4~ Ex 4" b 0 , Ay* 4* Dy 4* F — 0 ;

les racines de la première de ces équations sont a et a', les racines de la seconde sont b et b' ; on a donc :

« + «=-*. d ou - + -

b + b' = ~X> bb'=l-, d’où 1+'-

D’après cela l’équation (3) peut s’écrire :

Dy 4- Ex 4- 2F = 0.

Cette équation représente la polaire dn point P par rapport à la conique; ce qu’il fallait démontrer.

Corollaire. Ce théorème permet de construire, au moyen de la règle seulement, les tangentes à une conique par un point extérieur donné; en effet , on aura immédiatement , par ce qui précède , la polaire du point donné ; les points où cette polaire rencontrera la courbe seront les points de contact des tangentes demandées.

*«iO Si un quadrilatère ABB’A' (fig. 141) eit inscrit dans une conique, la ligne MN, qui joint le point de rencontre des diagonales avec le point de rencontre de deux côtés opposés AB, A'B', passe par les pôles des deux côtés opposés AA 'et BB’.

En effet , d’après le théorème précédent , la ligne MN est la polaire du point P ; mais le point P est situé sur les droites AA' et BB', donc la droite MN passe par les polos de AA' et BB'.

Corollaire. Ce théorème permet de mener une tangente à une conique

APPENDICE

au moyen de la règle seulement , par un point donné sur la conique. Supposons qu’il s’agisse de mener la tangente en B ; on mènera une corde quelconque BB', puis deux autres cordes quelconques BA, B' A'; joignant ensuite BA' et B'A , puis MN , on aura une droite passant par le pôle de BB' ; on construira de la même manière une seconde droite qui , par son intersection avec la première, donnera le pôle de BB'; joignant ensuite ce pôle au point B , on aura la tangente demandée.

261. Pour mieux étudier les positions respectives du pôle et de la polaire d’un point par rapport à une conique , nous examinerons successivement les trois cas que présentent ces courbes.

Ellipse. Soient P un point et HH' sa polaire par rapport à une ellipse; prenons pour axe des x le diamètre qui passe par le point P et pour axe des y le conjugué; on aura , pour ce point P :

et pour l’ellipse :

«’*/*+ 6*xs = a,f>*; enfin l’équation de la ligne HH' sera:

xx^ = a’;

cette droite est donc parallèle à l’axe des y. Le point Q où elle coupe l’axe des x est situé du même côté dn centre O que le point P; on a en outre :

OP X OQ = a*.

Deux points P et Q, situés sur un même diamètre de l’ellipse, d’un même côté du centre et qui sont tels que la précédente équation ait lieu , sont dits points conjugués; la polaire de chacun d’eux passe par l’autre, et les deux polaires sont parallèles au diamètre conjugué de celui qui passe par les deux points.

Hyperbole. Soit P un point quelconque et HH' sa polaire par rapport à une hyperbole; prenons pour axe des x le diamètre qui passe par le point P et pour axe des y le conjugué. On aura pour le point P :

et , si l’axe des x est transverse , l’équation de l’hyperbole sera : a'y! — ô»x» = — n’ft* ;

enfin l’équation de HH' sera :

xz' ~ a*.

Le point Q , où cette droite coupe l’axe des x , est situé du même côté du centre O que le point P, et on a comme dans l’ellipse :

. OPXOQ = o*.

Mais si Taxe des x est un diamètre non transverse de l’hyperbole, l’équation de cette courbe est :

a *y* — bVr* =

et celle de HH' est :

xx' — — a* ;

ici le centre O est situé entre le point P et le point Q où HH' coupe l’axe des x ; on a comme précédemment :

OP X OQ = a*.

Dans les deux cas , les points P et Q sont des points conjugués.

Parabole. Soit P un point et HH' sa polaire par rapport à une parabole; prenons pour axe des x le diamètre qui passe par le point P, pour axe des y la tangente à l'extrémité de ce diamètre, on aura, pour le point P

pour la parabole :

y' — ipx,

et pour UIU :

ce qui montre que HH' est parallèle à l’axe des y, et si Q est le point où eUe coupe l’axe des x , on aura :

OP = OQ.

Les points P et Q sont encore des points conjugués. 11 est aisé de voir, par ce qui précède, que la polaire d’un foyer d’une conique quelconque est la directrice qui correspond à ce foyer.

ZH'i. 11 est aisé de démontrer que toute corde d'une conique, menée par un point quelconque P, est divisée par ce point P et par sa polaire

APPENDICE

en parties proportionnelles. Nous engageons le lecteur à chercher la démonstration de ce théorème.