HEXAGONE DE PASCAL

•63. Lem>e. Si trois coniques ont une corde commune AA' , les trois cordes BB', CC', DD' commune» à ces courbes, prises deux à deux, passent toutes trois par un même point.

Prenons pour axe des x la corde commune et pour axe des y une droite quelconque qui pourtant ne passe pas par l’une des extrémités de la corde commune; l’équation de l’une des coniques sera :

Ay* 4" Dry 4~ Cx* -f- Dy -f" Ex 4~ 1 — 0 ,

car le terme indépendant des variables n’étant pas nul par hypothèse , on peut diviser toute l’équation par ce terme. En faisant y = 0, il vient :

Cx» 4- Ex 4-1=0,

équation qui a pour racines les abscisses des extrémités de la corde commune aux trois coniques. Il s’en suit que dans les équations de ces trois courbes , les termes en x» et en x ont respectivement le même coefficient. Soit donc.

Ay* + Bxy 4- Cx» 4- Dy 4- Ex 4- 1 = 0 ,

A'y* 4" B'xy -f* Cx* 4“ D'y 4“ Ex 4“ I — 0 ,

A''y» 4- B"xy 4- Cx» 4- D"y 4- Ex 4- 1 = 0 ,

les équations des trois coniques. En retranchant les deux premières l’une de l’autre, il vient :

(A - A')y» 4- (B - B'ixy 4- (D-B')y = 0,

qui se décompose en deux autres, savoir :

Les droites représentées par ces équations passent par les quatre points communs aux deux premières coniques; la première y =0 comprend les deux points situés sur t’axe des x, l’autre est relative aux deux autres points. Si donc on désigne, pour abréger, par P, P', P" les premiers membres

m GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

des équations des trois coniques, les trois cordes communes, que nous considérons, auront pour équations :

li est évident que ces trois droites se coupent en un même point.

Stt4. Théorème. Dans tout hexagone inscrit à une conique, les points de rencontre des côtés opposés sont en ligne droite.

Soient ABCDEF un hexagone inscrit dans une conique C (fig. 142); tirons la diagonale AD; prolongeons les côtés AB, DE qui se coupent en I;

BC, EF qui se coupent en K ; CD, AF qui se coupent en H, et joignons IH ; je dis que la droite 1H passe par le point K En effet la conique C, la conique formée des droites AB, CD et celle qui est formée des droites AF1, DE ont une corde commune AD , d’ailleurs les trois cordes communes h ces coniques deux à deux sont BC, EF et 1H ; les deux premières se coupent en K ; donc, d’après le théorème précédent, la droite IH passera par le point K.

Corollaire. Le théorème ne cesse pas d’avoir lieu si l’un des côtés de l’hexagone se réduit à zéro , auquel cas la direction de ce côté est celle d’une tangente à la conique. Il résulte de là que : si les côtés d’un pentagone inscrit dans une conique sont numérotés 1,2, 3 , 4,5, le point de concours des côtés 2 et 4 , celui des côtés 3 et S et celui du côté l avec la tangente au sommet opposé seront tous trois en ligne droite,

Xttâ. On déduit facilement de ce qui précède le théorème suivant dû à M. Brianchon:

Les trois diagonales, qui joignent les somtnels opposés d’un hexagone circonscrit à une conique, passent par un même point.

APPENDICE