CHAPITRE III
DE LA LIGNE DROITE ET DU PLAN
BQ CATION S DE LA LIGNE DROITE. — ÉQUATION DC PLAN. — TOUTE ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ A TROIS VARIABLES REPRÉSENTE UN PLAN.
298. D’après ce qui a été dit précédemment, on peut prendre , pour les équations d’une ligne , celles qui représentent ses projections sur deux des trois plans coordonnés. Par exemple, si x — as p représent*' la projection d'une droite sur le plan xz ; que y = bs -(- q représente sa projection sur le plan yz , on pourra prendre, pour la droite (‘Ile-même , le système des deux équations :
x = az + p, y — bz + q.
Si l’on éliminez entre ces deux équations, on aura évidemment la projection de la droite sur le plan xy.
Les quantités p et q sont les coordonnées a: et y du point où la droite, représentée par les équations (1 ), rencontre le plan xy ; en effet, on a, pour ce point, z = 0; par suite, ces équations donnent x=p , y = q.
Le cas d’une droite parallèle au plan xy n’est pas compris dans ce qui précède; car les projections sur les plans
xz et yz sont représentées par une même équation de la forme :
il faut joindre alors à cette équation celle de la projection sur le plan xy et qui a la forme :
y = ax-\-b.
299. Proposons-nous maintenant de trouver l’équation du plan. Soient I (fig. 154) le pied de la perpendiculaire abaissée
de l’origineO sur un plan donné, et M un point quelconque de ce plan ; les coordonnées x, y, s du point M ont pour valeurs absolues les droites OQ,QP et PM.
Nous désignerons en outre parp x la longueur de la perpendiculaire 01 , et par a, 6, y les angles que fait sa direction avec les axes des coordonnées. Cela fig. is4. posé, la projection sur la direc-
tion 01 du contour OQPMI sera évidemment égale à 01 ou p ; on aura donc, en observant que la projection de Ml est nulle :
(OQ) + (QP)+(PM)=p,
ou
x cos a -j- y cos 6 + 2 cos f — p — 0.
Remarque. Il est aisé de voir que le raisonnement subsiste dans le cas de p — 0 ; alors la projection du contour que nous avons considéré est nulle, et on a simplement pour l’équation du plan :
x cos a -f- y cos 6 -j- s cos 7 0.
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500. On voit, par ce qui précède, que l’équation du plan est du premier degré. Réciproquement toute équation du premier degré représente un plan. Cette propriété résulte de ce qui a été dit au n° 297 ; effectivement, l’équation du premier degré représente une surface; en outre, cette surface ne peut rencontrer une ligne droite qu’en un seul point, à moins de la contenir tout entière ; ce qui est la propriété caractéristique du plan.
TROUVER LES EQUATIONS d’cüE DROITE: i° QUI PASSE PAR DEUX POINTS
DONNÉS; 2° QUI PASSE PAR UN POINT DONNÉ ET QUI SOIT PARAL- LÈLE A UNE DROITE DONNÉE.
301. Supposons d’abord qu’il s’agisse de trouver les équations d’une droite menée, par un point donné, parallèlement à une droite donnée.
Première solution. Si deux droites sont parallèles, il est évident que leurs projections rectangulaires ou obliques sur un même plan sont parallèles ; réciproquement , deux droites sont parallèles si leurs projections sur deux plans qui se coupent sont parallèles. Il résulte de là que les conditions du parallélisme de deux droites
{x = az-\-p ( x = a'z-j-p' ,
y = bz -j- q [ y =b'z + q' ,
Cela posé , on peut supposer que la droite donnée passe par l’origine des coordonnées. Soient alors
x — az, y = bz ,
les équations de cette droite. D’après ce qui a été dit (n° 298),
384 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS, les équations de la droite demandée auront la forme : x = az + p, y=bz + q;
et, si x', y ', z' désignent les coordonnées du point donné, on aura :
af — az'-{-p, y'=bï + q,
équations qui donnent les valeurs de p et q; d’après cela, les équations de la droite demandée seront
Deuxième solution. Soient M'(x', y', z') (fig. 155) le point
donné de la droite demandée D, et M (x, y, z) un autre point quelconque de cette droite ; les coordonnées des points M et M' seront représentées en valeur absolue par OQ,QP, PM et OQ', QF, FM'. Cela posé, si l’on projette sur une droite OX perpen- ***• diculaire au plan yz le
contour QPMM'FQ' et la ligne résultante QQ', on aura, en faisant abstraction des projections qui sont nulles :
