ELLES SE DIVISENT EN DEUX CLASSES : LES UNES ONT UN CENTRE

LES AUTRES n’ëN ONT PAS. COORDONNEES DU CENTRE.

521. On nomme centre d’une surface un point qui divise en deux parties égales toutes les cordes qui y passent.

Théorème. Si un centre d'une surface est pris pour origine des coordonnées rectilignes, l'équation de cette surface ne change pas lorsqu’on y remplace x,y,z par — x, — y, — s.

Réciproquement, si l’équation d’une surface ne change pas lorsqu’on y remplace x,y ,z par — x , — y, — z, l’origine des coordonnées est un centre de la surface.

1° Supposons que l’origine O (fig. 158) soit un centre

d’une surface; joignons un point quelconque M de la surface au centre . * O , et prolongeons OM d’une quantité OM' = OM ; le point M' sera aussi un point de la surface. Déplus , si l’on mène les coordonnées MP, MP* parallèles à l’axe des * ,

PQ , P'Q’ parallèles à

flg. 158.

l'axe des y, enfin que l'on joigne OP et OP', les points P, O, P' seront en ligne droite et les triangles MOP, M'OP' seront égaux. Cela montre d’abord que les coordonnées z des points M et M' sont égales et de signes contraires, puis que OP et OP' sont égales. Alors les triangles PQO, P'Q'O sont égaux ; d’où il suit que les coordonnées x et y du point M sont égales et de signes contraires à celles du point M'. On voit par là que, si l’équation de la surface admet une solution telle que x=u, y=6, z—y, elle admettra aussi la solution 'x — — a, y = — 6, z — — y, en d’autres termes, cette équation, et celle qu’on en déduit par le changement de a?, y, z en • — x, — y , — z, admettront les mêmes solutions ; ce qui démontre la première partie du théorème énoncé.

2° Supposons que l’équation d’une surface ne soit pas altérée par le changement de x,y,s en — x, — y, — z. Si cette équation admet la solution x=a, y = 6, z = y, elle admettra aussi, par hypothèse, la solution x= — a, y= — 6, z = — y. Soient M et M' (fig. 138) les deux points qui ont respectivement pour coordonnées a, 6, y, et — a, — 6, — y ; menons MP, M'P parallèles à Oz, PQ,P'Q' parallèles à Oy, tirons enfin OP et OP', OM et OM'. Il est aisé de voir que les triangles PQO, P'Q'O sont égaux; d’où l’on conclut que OP = OP' et que POP' est une ligne droite. D’après cela, les triangles MOP, M'OP' sont égaux; d’où il suit que OM = OM' et que MOM' est une ligne droite; ce qui démontre la deuxième partie du théorème énoncé.

Remarque. Si , en particulier, un centre d’une surface algébrique est pris pour origine des coordonnées, les degrés des termes que renferme l’équation de cette surface seront tous pairs ou tous impairs et réciproquement. Ceci suppose, bien entendu , que l’équation soit préparée de manière que l’un

SURFACES DU SECOND DEGRÉ

de ses membres soit nul, et que l’autre membre soit une fonction entière «les coordonnées.

522. D’après le théorème qu’on vient d’établir, il suffira, pour trouver le centre ou les centres d’une surface, de transporter les axes parallèlement à eux-mêmes, de manière que l’origine prenne une position indéterminée, puis de disposer des coordonnées de cette origine pour satisfaire, s’il est possible, à la condition que nous avons reconnue être nécessaire et suffisante. Nous allons faire l’application de cette théorie aux surfaces du second degré.

325. L’équation la plus générale du second degré à trois variables peut être mise sous la forme

(1 )' Ax* + \y 4- AV -f 2B y z + 2B’xz + 2B"iy + ÎCx + 2C'y-f 2C"z + K = 0.

8i l’on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes , de manière que l’origine soit en un point indéterminé (af, y',*'); il faudra remplacer dans l’équation (1) x par x + x’, y par + ÿ 'et z par z-fz'; cette équation devient alors :

(2) Ax1 -f A'y* -f AV + 2Byz -f- 2B'xz + 2B"xy + 2C,x + 2C1y + 2C",z+K1=0,

en faisant, pour abréger,

C, =Ax'4-B'z'-|-B'y + C,

C', =Ay + Bz' + BV + C’,

C"t=A':z' + By' + B'x'-fC",

K, =Ax', + Ay,-j-A"z'!

+ 2By'z' + 28'x'z' + 2B"x'y + 2Cx' -f 2C'y' + 2CV -f K.

Four que la nouvelle origine soit un centre de la surface, il faut et il suffit (n® 32f) que l’on ait:

i OS GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.

c’est-à-dire que les coordonnées x', ÿ, z' satisfassent aux trois équations :

IAx +B'3-(-B"ÿ4-G=0,

B"x -J- A'ÿ + Bs -j- C'= 0 ,

B 'x +Bÿ + A"2+G"=0. .

Ces équations, qui déterminent les coordonnées du centre, peuvent s’obtenir, comme il est aisé de s’en assurer, en égalant à zéro les dérivées du premier membre de l’équation (t) prises par rapport h x, à y et à 2. *

Résolvons les équations (3) par rapport à x, y, 2, on aura :

en faisant pour abréger , •

D = AB3 + ATI” + A"B"! — A A’A" — 2BBR",

N — C(A'A" — B! ) -f- C'(BB' — B"A") -(- G"(BB" — B' A') ,

N' = G'(AA" — B'*) -f C'^BTl" — BA) + C(BB'— B"A") , ' N"= C"(AA' — B"4) + C(BB'' — B'A') -f C'(B'B" — BA).

Trois cas peuvent se présenter.

, 1° Si le dénominateur D est différent de zéro, les valeurs

de x, y, 2 sont réelles et finies; par suite la surface, représentée par l’équation (t), admet un centre unique.

2° Si le dénominateur D est nul, et que les numérateurs N, N’, N” ne soient pas nuis tous trois, l’une au moins des coordonnées du centre est infinie et par suite la surface re présentée par l’équation (1) n’a pas de centre.

3° Si le dénominateur l) et les trois numérateurs fi, N', N"

SURFACES DU SECOND DEGRÉ

sont nuis, les valeurs de x, y,z se présentent sous la forme

par suite les équations (3) se réduisent à deux équations distinctes, ou même à une seule; et alors la surface représentée par l’équation (1) admet une infinité de centres.

524. Lorsque les équations (3) se réduisent à deux équations distinctes, la surface représentée par l’équation (1) est un cylindre à base elliptique ou hyperbolique. En effet, dans le cas dont il s’agit, la surface (i) a une infinité de centres situés sur une ligne droite. Soient AB cette droite (fig, 158) et M un

point quelconque de la surface représentée par l’équation (1), Joignons le point M aux différents points 1, 1',... de AB et prolongeons les droites ainsi obtenues en N, N',... de mang i59. nièrequel’onaitMI=IN...les

points N, N'... seront sur une ligne droite parallèle à AB et cette droite sera évidemment tout entière sur la surface que , nous considérons. Si l’on joint de même un point quelconque N de NN' aux différents points 1,1'... de AB et que l’on prolonge ces lignes de quantités égales, les points M, M... ainsi obtenus formeront une seconde droite parallèle à AB et qui sera tout entière sur la surface. Il résulte de là que tout plan, mené par AB, coupe la surface (1) suivant deux droites parallèles à AB et qui en sont équidistantes. La surface que nous considérons est donc un cylindre dont les génératrices sont parallèles à AB. Enfin je dis que la base de ce cylindre est une ellipse ou uDe hyperbole; en effet, si l’on mène par un point quelconque I de AB tin plan quelconque , qui ne contienne pas AB, ce plan coupera la surface suivant une courbe du second degré qui aura évidemment le point 1 pour centre.

5Sîi». Si les équations (3) se réduisent à une seule, la surface représentée par l’équation (l) est formée de deux plans parallèles. En effet, dans ce cas, la surface’ (1) a une infinité de centres, qui sont situés dans un même plan P. Soit M (fig. ItiO) un point quelconque de la surface représentée par l’équation (l); joignons ce point aux différents points 1,1',!",... du plan P et prolongeons les droites Ml, Mf, Ml",... de quantités égales IN,1'N', I"N". les points N, N', N",... seront dans un même plan K parallèle au plan P et ce plan fera évidemment partie de la surface (i). Si l’on joint de même un point quelconque N du plan R aux différents points 1,1', I",..., du plan P et que l’on prolonge de quantités égales les droites NI, NI’, NI"..... les points M. M', M",..., ainsi obtenus seront sur un second plan Q parallèle au plan P et qui fera partie de la surface représentée par l’équation (i). Je dis de plus que cette surface ne peut avoir aucun point situé hors des plans Q ou R; car, si un pareil point existait, en menant par ce point une droite coupant les plans Q et R, cette droite rencontrerait la surface en trois points, sans y être contenue tout entière, ce qui est impossible. On voit en résumé que l’équation (1) représente deux plans, parallèles au plan qui contient les centres et équidistants de celui-ci.

lig. 160.

UES PLANS DIAMETRAUX.

326. On nomme plan diamétral d’une surface , un plan qui divise en deux parties égales toutes les cordes parallèles

SUR PACKS DI! SECOND DEGRÉ

à une môme droite. Nous allons démontrer que, dans une surface du second degré, il existe un plan diamétral pour chaque système de cordes parallèles ; nous donnerons en même temps le moyen de trouver son équation.

Soit

A*' -f- A';/’ + AV -f 2By z + 2B’xz -f 2B"xy + 2Cx -f- 2Cy -)- 2C"z K =0 ,

ou , pour abréger,

l’équation d'une surface du second degré; soient x — mz, y=nz,

les équations d’une droite, menée par l’origine, parallèlement aux cordes que nous voulons considérer. Désignons par .r', y1, z[ les coordonnées du milieu de cette corde. Si l’on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes, de manière que l’origine coïncide avec ce point milieu, l’équation de notre surface deviendra :

(2) . fix + x', y + y‘, z + z') = 0,

et celles de la corde, que nous considérons, seront évidemment :

(3) x — mz, y = nz.

Il suit de là que l 'équation du second degré eu z

(4) f[mz + x', nz + j/', 2-}-z') = 0,

qu’on obtient en éliminant x et y entre (2) et (3), aura pour racines les coordonnées z des points d’intersection de la sur-

face et de la corde ; mais, comme ces coordonnées sont égales et de signes contraires, l'équation (4) ne doit pas renfermer la première puissance des. Égalant donc à zéro le coefficient du terme du premier degré dans l’équation (4), on obtiendra une équation en x', y', m et n qui représentera le lieu des milieux des cordes parallèles à la direction donnée. On trouve, en faisant le calcul , que cette équation est :

( Am + B' + B"n)x'+ ( A'n +11 + B"m)y'+(A" + lin + B'tfijs' + Cm + C'n + C"= 0 ,

ou, en supprimant les accents,

( Am + B' + B"n)x+(A'n +B+ B"m)y + (AT+ Bn + B'mjs + Cm + C'n + C"= 0. .

Cette équation est du premier degré; elle représente donc un plan , comme on l’avait annoncé.

527. Si l’on représente par X, Y et Z les dérivées du premier membre de l’équation (1) par rapport à x,y,z, l’équation que nous venons de trouver prend la forme trèssimple :

(5) i»X + nY + Z = 0; -

c’est l’équation générale des plans diamétraux.

Les plans diamétraux, qui correspondent aux cordes parallèles aux axes des x, des y et des z, s’obtiendront en fai-

fl * \ ffl | '

sant — = 0 et — = 0, puis — = 0 et - = 0, puis enfin m m n rt

m=0, n=0. 11 vient ainsi :

ces trois dernières équations sont précisément celles qui

SURFACES DU SECOND DEGRÉ

trt

terminent les coordonnées du centre ; lorsqu’elles sont satisfaites, l’équation générale des plans diamétraux est également satisfaite, quels que soient m et n. Il s’ensuit que, dans les surfaces à centre , tous les plans diamétraux passent par le centre. 11 est facile de démontrer que réciproquement tout plan qui passe par le centre est un plan diamétral.

Dans les surfaces dénuées de centre, les équations

(tij X^=0, Y = 0 , Z = 0

représentent trois plans qui se coupent en un point situé à l'infini. Si deux de ces trois plans se coupent, leur intersection est parallèle au troisième; par suite ils sont parallèles à une même droite ; dans le cas contraire ils sont parallèles à un môme plan.

Supposons le premier cas et soit D la droite à laquelle les plans (G) sont parallèles. Je dis que tous les plans diamétraux seront parallèles à la droite D. En eftet , les valeurs de x, y, z, qui satisfont à l’équation (5) et à deux quelconques des équations (6) , sont infinies ; car autrement on satisferait aux équations (6) par des valeurs finies de x, y, z. Le plan (5) est donc parallèle à la droite D qui est représentée par deux des équations (6).

Si au contraire les plans (6) sont parallèles , il est clair que tous les plans (o) le sont aussi, puisque les coefficients des variables x, y, z dans les équations (5) et (6) sont proportionnels.

Des plans principaux.

528. On nomme plan principal un plan diamétral qui est perpendiculaire aux cordes qu’il divise en deux parties égales; celles-ci sont dites cordes principales. Nous allons établir que.

dans toute surface du second degré, il existe au moins un plan principal. r ■ , v

Soit ' ) '

(1) Ax* + A y +AV+ 2B yz +2B'x; + W'xy + 2Gx + 2C'y + 2C"z + K = 0,

l’équation d’une surface du second degré, rapportée à trois axes que nous supposerons ici rectangulaires.

Soient

(2) x — mz, y—nz,

les équations d’une droite quelconque. L’équation du plan diamétral, correspondant à cette droite, sera :

(3) (Aw+B'+B''n)iE+(A'w+B-fB"TO)ÿ+(A"+B»-fB'TO)z .+ Cm + C'n+C"=0. \

Les conditions de perpendicularité de la droite (2) et du plan (3) sont :

Am B' B"n A ’n -j- B -f B"m

A'' + Bn+B'm