AB* + AU'* + A"B'1* — AA' A" — 2BB'B

Cette équation (6) , qui est du troisième degré, a nécessairement une racine réelle s. A cette racine correspondent des * valeurs réelles de m et de n qu’on peut tirer de deux quelconques des équations (S). On obtient ainsi l’équation d’un plan principal qui est, en se rappelant que chacuu des rapports (-4) a pour valeur s :

s(mx -f ny 4 s) 4 Cm 4 C'n -(- C" = 0.

Si a, 6, y désignent les angles que forment la droite (2) avec les axes, l’équation du même plan peut s’écrire

*( x cos a y cos 6 4 2 cos V 4 C cos a 4 C' cos 6 4 C"cos y=0.

L’existence d’un plan principal est ainsi démontrée pour tous , les cas ; cela suffit pour l’objet que nous avons en vue ; les détails importants, qu’il reste à faire connaître, se déduiront de la manière la plus simple des considérations qui vont suivre. Remarquons toutefois que le plan principal, trouvé précédemment, pout être situé à une distance infinie de l’origine des coordonnées ; mais ceci ne peut avoir lieu que chez les surfaces dénuées de centre ; car, dans les autres , tous les plans diamétraux passent par le centre.

simplification de l’équation générale du second degré par la transformation des coordonnées.

Surfaces à centre.