Considérons une surface du second degré à centre

et rapportons-la à trois axes rectangulaires quelconques. L’équation de cette surface aura la forme :

(I) Ax* -\-A'y,+ AV -f 2üi/ï + 2lî'xz -f 2B*a?y

+ 2Ca: + 2G'y+2G"z-t-K.=0. ■

On peut faire disparaître les termes du premier degré , en transportant les axes parallèlement à eux-mêmes au centre do la surface ou à l’un de ses centres , si elle en a une infinité. Son équation prend alors la forme :

(2) AV + A'y' + A"z'- + 2B yz + 2B'tfz -f 2BVt/ + K, = 0.

Gela posé, effectuons une nouvelle transformation de coordonnées ; prenons trois nouveaux axes rectangulaires , ayant même origine que les précédents et tels que le nouveau plan xy coïncide avec le plan principal dont nous avons reconnu l’existence (n° 328). Il est évident que la nouvelle équation de la surface doit être telle que lès deux valeurs de z , qu’on en déduit , soient égales et de signes contraires ; par suite cette équation ne renfermera pas les rectangles xz et yz. Enfin on pourra faire disparaître le troisième rectangle xy , en faisant tourner les axes des x et des y dans leur plan, sans altérer -

leur perpendicularité. Alors la surface que nous considérons

sera représentée par une équation de la forme : . X

> • 'r • • • '•st/f 's

(3) PV + Py + PV=H,

où x , y , z désignent des coordonnées rectangulaires. Cette équation comprend toutes les surfaces quj^ont un centre ou une infinité de centres, - . . r

350. 11 existe une infinité de systèmes d’axes obliques, pour lesquels l’équation d’une surface à centre est de la forme :

P.r54-Py+PV = H. ' '

SURFACES DU SECOND DEGRE

En effet, si l’on prend trois axes quelconques passant par le centre de la surface, l’équation ne renfermera pas de termes du premier degré; si , en outre, on fait coïncider l’axe des z avec la direction des cordes que le plan xy divise en parties égales, il est évident qu’on fera disparaître les rectangles xz et yz. Enfin on fera disparaître le dernier rectangle xy, en déplaçant convenablement les axes des x et des y dans leur plan; ce qui démontre la proposition énoncée. Lorsque l’équation d’une surface à centre est ainsi réduite, les trois plans coordonnés forment un système de plans diamétraux conjugué» ; le plan qui contient deux quelconques des axes divise en deux parties égales les cordes parallèles au troisième axe.

Surfaces dénuées de centre.