Soit

(1 ) Ax* + \y + AV -f- 2Bi/* + 2B 'xz -f 2B"xy

+ 2Cx + 2C'y + 2C”z + K =0 ,

l’équation d’une surface dénuée de centre, que nous supposerons rapportée à trois axes rectangulaires.

Nous savons que tous les plans diamétraux sont parallèles àrune meme droite ou sont parallèles entre eux, et ce dernier cas est évidemment compris dans le premier. Or, si l’on a choisi pour axe des x la direction de la droite à laquelle sont parallèles les plans diamétraux de la surface que nous considérons, l’équation de cel'e-ci ne contiendra ni le carré x *, ni les rectangles xy et xz. En effet , si l’on égale à zéro les dérivées du premier membre de l’équation proposée par rapport hx,y et z, il vient:

IAiC+B's+B/'ÿ+C=0,

A'»/ + Bz + B'3? + C' = O , A"z+By+B'a;+C"=0;

œs équations (2) représentent trois plans parallèles à l’axe des x , ce qui exige que l’on ait :

On peut donc ainsi ramener l’équation de la surface proposée à la forme :

(3) A'y* + AV -f 2Byz -f- 2Ca: + 2C'y + 2C "z -f K=0.

On peut en second lieu faire disparaître le dernier rectangle y z , en déplaçant les axes des y et d(» z dans leur plan , sans altérer leur perpendicularité. Par cette transformation , l’équation de la surface prendra la forme :

(t) A'y’ -f AV -f- 2C,r -f- 2C'y + 2C" z 4- K = 0.

Enfin , si l’on transporte les axes parallèlement à euxmêmes en un point convenablement choisi, transformation qui n’offre aucune difficulté , on fera disparaître les termes du premier degré en y et z avec le terme indépendant des variables. Notre équation se réduira donc en définitive à la forme :

'■ ' • • •• py+PV=Qx.

Cette équation ,oùx,y,z désignent des coordonnées rectangulaires, comprend toutes les surfaces dénuées de centre. 552. Il existe une infinité de systèmes d’axes obliques,

SURFACES DU SECOND DEGRÉ. 4iÿ

pour lesquels l’équation d’une surface dénuée de centre a la forme :

P'«/’+PV=Qz.

Effectivement , si l’on prend l’axe des x parallèle aux plans diamétraux , quels que soient les deux autres axes, l’équation de la surface ne contiendra pas les termes en x' , en xy et en xz ; on pourra ensuite , comme dans le cas des axes rectangulaires, faire disparaître le rectangle yz en déplaçant convenablement les axes des y et des z dans leur plan; enfin , par une translation de ces nouveaux. axes, on pourra faire évanouir les termes du premier degré en y et z avec le terme

indépendant; ce qui démontre la proposition énoncée.

ÉQUATIONS LES PLUS SIMPLES DE l’ ELLIPSOÏDE , DES HYPERBOLOÏDES A UNE ET A DEUX NAPPES, DES PARABOLOÏDES ELLIPTIQUE ET IIYPER- BOL1QUE, DES CÔNES ET DES CYLINDRES DU SECOND DEGRÉ.

Discussion des surfaces à centre.

535. Les surfaces à centre sont toutes comprises, comme on l’a vu , dans l’équation :

(t) PÆ?+py+pv=H,

où x, y, s désignent des coordonnées rectangulaires. Elles forment plusieurs genres distincts que nous allons examiner. Nous supposerons d’abord qu’aucun des coefficients P, P', P' et H ne soit égal à zéro; et nous supposerons en outre H positif, ce qui est permis puisqu’on peut changer les signes de tous les termes de l’équation.