Ellipsoïde. Lorsque P, P , p" ont te même signe, la

surface, que représente l’équation (1), prend le nom d’ Ellipsoïde. Si ces coeftieients sorrt négatifs, l’équation (1) n’admet aucune solution réelle et l’on dit qu’elle représente un ellipsoïde imaginaire.

Supposons donc P, P’, P" positifs. Pour avoir les points où la surface rencontré les axes, il faut égaler à zéro y et z, puis x et z , enfin x et y; on obtient aiiisi :

Posons

l’équation de la surface devient

a sur laxe des x (iig. loi ) ; j OC = OC' — c sur l’axe des z, les six points A, A', B, B', G, Ç' appartiendront à la surface; les droites AA', BB', CC' sont dites les longueurs des axes dei’ellipsoïde ; leurs extrémités sont les somthets.

Chacun des plans coordonnés est évidemment nn plan principal de la surface, et coupe la surface suivant une ellipse dite section principale. Cès ellipses ont respectivement pour

•suit FACES DU SECOND DEGKË.

Oa déduit de l’équation de l’ellipsoïde un mode de génération très-simple de cette surface. Effectivement, si l’on coup© l’ellipsoïde par un plan parallèle à l’un des plans coordonnés, au plan xy, par exemple, il est clair que l’intersection sera représentée par deux équations de la forme :

La courbe définie par les équations précédantes est une

ellipse dont les axes sont 2a W 1 — — , 2è W 1 — — . Cette

ellipse est réelle si 2' est compris entre — c et -j- c >• on voit en Outre que si 2' varie d une manière continue entre ces limites — c et + c , l’ellipse dont nous parlons , en variant de grandeur et de position, engendrera l’ellipsoïde. Il faut remarquer que le rapport des axes de l’ellipse génératrice est constant et

égal à ces axes varient l’un de 2a à zéro, l’autre de 2 b à

zéro. Il s’ensuit évidemment que l’ellipsoïde est une surface fermée dans tous les sens.

533. Dans le cas général l'ellipsoïde est dit à trois axes inégaux; dans le cas particulier où deux de ses axes sont , égaux , la surface est de révolution autour du troisième axe. Supposons par exemple a=b, l’équation de l'ellipsoïde devient: '

les sections parallèles au plan xy sont représentées par deux équations telles que : ' ' - ■ .

kl - s— V, *’ + y* = a’ (1 — -j )

m GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.

U s’ensuit que la surface peut être engendrée par un eèrcle de rayon variable, dont le plan reste parallèle au plan xy, et dont le centre se meut sur l’axe des z. En d’autres termes, la surface est de révolution autour de i’axe des z. La méridienne de cette surface de révolution est une ellipse dont on aura l’équation, dans le plan xz, en faisant y—0 dans celle de la surface. L’équation de cette méridienne est donc : .