Enfin, si les trois axes 2 a, 2& , 2c sont égaux entre
eux, l’équation de la surface se réduit à y, + 2*=rO,;
cette équation exprime que la distance de chaque point de la surface à l’origine est constante et égale à a. La surfaoe de la sphère est, comme on le voit, un cas particulier de l'ellipsoïde. ,
357. IIyperboloïbe a une nappe/ Si l’un des coefficients P, V, P" est négatif, et que les deux autres soient positifs, la surface représentée par l’équation (t)eât dite un Ilyperboloïde à une nappe. Nous supposerons P et P’ positifs , P" négatif ; les points où la surface rencontre les axes sont donnés par les équations :
posons:
SURFACES DU SECOND DEGRÉ
l’équation de la surface devient
Si Ton prend OA=ÛÀ'=a (fig. 162) sur l’axe des x, OB = OB'=6 sur l’axe des y; OC = OC' = c sur l’axe des z;
L les quatre points A, A', B, B'
appartiendront à la surface ; // les droites A A’, BB’ et CC' sont
' ' ~^Syr- dites les longueurs des axes
\\~ ^ — '~/// de ^’hyperboloïde ; les deux
\ >. ( premières qui rencontrent la
A'f— surface prennent le nom
///C\\ d’are* réels, la troisième est
’ - dite axe imaginaire. Les ex-
—f trémités des axes réels sont y/. \ les sommets de la surface.
L Chacun des plans coordonna- <«• * nés est un plan principal de
la surface et coupe celle-ci suivant une courbe dite section principale. La section principale , située dans le plan xy, est une ellipse; les deux autres sont des hyperboles. Les axes de ces trois courbes sont respectivement 2a et 26 , 2a et 2c , 26 et 2c. . . .... „
L’hyperboloïde à une nappa est susceptible d’un mode de génération analogue à celui de l'ellipsoïde. Si, en effet, on coupe cette surface par un plan parallèle au plan xy , l’intersection sera représentée par deux équations de la forme :
La courbe définie par les équations précédentes est une
ellipse dont les axes sont 2 a >/ i+ç>
ellipse est réelle quel que soit z'. On voit en outre que, sia' varie d’une manière continue de — co à -j- oo,- l'ellipse, dont nous parlons, en variant de grandeur «t de position, engendrera l’byperboloïde^Le rapport des axes de l’ellipse génératrice est
fl
constant et égal à Ces axes varient l’un de l’infini à 2a,
l’antre de l’infini à 26 quand a' varie de — e» à zéro , ou de -j-co à zéro/ Lés valeurs minima de ces axes ont lieu lorsque l’ellipse mobile est située dans le plan xy , et alors elle prend le mm A' Ellipse dégorgé. Il suit évidemment de là que la surface, dont nous nousoccupons,s’étendà l’infini etn’est formée que d’une seule nappe continue. . , .
538. Lorsque les deux axes réels 2a , 26 sont égaux , I’hyperboloïde à une nappe est de révolution autour dé l’axe imaginaire. Effectivement, les sections perpendiculaires à cqt axe sont des circonférences dont il renferme les centres. On obtient l’équation de la méridienne dans le plan xz , en faisant j/=0 dans l’équation de la surface. On trouve ainsi l’hyperbole:;' . . • . ; •„ ...
359. HvrERBOLoïrtE a‘ deux nappes. Si deux des coefficients P, P’, P" sont négatifs, et qêe le troisième soit positif, la surface représentée par l’équation est dite uu ïfyperboloïde à deux nappes. Nous supposerons P positif, P' et P" négatifs. Les points où la surface rencontre les axes sont donnés par lès équations :
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SURFACES DU SECOND DEGRE
Posons
Péquation de la surface devient
Si l’on prend OA = OA' = a (tig. 163) sur l’axe des ÛB =OB'=6 sur l’axe des y, OC=OC'=csur l’axe des z, les
points A ef A! apparti,en - > ” • ..*■ drpnt à la surface; les
. droites AA', BB', OC' sont ■ //C i \\ dites les longueurs des
Jlj axes de l’hyperboloîde;
~ le premier, qui seul ren- "c ^SnX. \,Ü A 001111,0 surface est l’are
' / , réel ; les deux autres sont
Ai u \^ les axes imaginaires la
(j(Ç J63 - . surface n’a que deux som-
mets qui sont les extrémités A et A’ de l’axe réel. Chacun des plans coordonnés est un plan principal de la surface; les plans xz èt xy coupent cette surface suivant deux hyperboles qui prennent le nom de sections principales ; la surface n’a aucun point dans le plan principal yz. . .
L’hyperboloïde à deux nappes peut être engendré de la même manière que l’ellipsoïde et l’hyperboloïde à une nappe ; si en effet on coupe cette surface par un plan parallèle au plan yz, l’intersection sera représentée par deux équations de la forme •' . s
La courbe, définie par les équations précédentes, est une
' • [tf i ~r~
ellipse dont les axes sqnt 26 W — — 1,
Cette ellipse est réelle, à moins que x' ne — a fet -f- a • Si' x’ varie de — e» à — a ou de -J- a à -j-os, l’ellipse dont nous parlons, en variant de grandeur et de position, engendrera deux nappes distinctes dont la réunion forme l’hyperboloïde. Le rapport des axes de l’ellipse génératrice est constant et égal à - : ces axes varient l’un et.
l’autre de l’infini à zéro, quand x! varie de — co à — a ou de + co à -f a.
540. Lorsque les deux axes imaginaires 26 et 2c sont égaux , l’hyperboloïde est de révolution autour de l’axe réel; car tes sections perpendiculaires, là cet axe sont des circonférences dont il renferme les centres ; on obtient l’équation de la méridienne dans le plan xz en faisant y = 0 dans l’équation de la surface; on trouve ainsi Péquation
541 . Cônes du second degré. Pour compléter l’étude des surfaces du second degré qui ont un centre unique, il nous reste à examiner le cas où le second membre H de l’équation (l)est nul, les coefficients P, P’, F' étant toujours différents de zéro. Alors l’équation (1) se réduit à,
. (i) .px’+py+pv^o.
Si P, P’ et P" sont tous trois de même signe, cette équation ne représente évidemment que le seul point réel: ,
” ir=0, y — 0, *=0; >
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soit compris entre ■
SURFACES DÈ SECOND UEGBÊ. • • *Î7
elle donne alors une variété de l’ellipsoïde. Si, au contraire,
l’un des coefficients P, P*, P" est de signe contraire aux deux .autres , l’équation que nous considérons représentera un Cône du second degré, surface que l’on doit considérer . comme une variété de l’hyperboloïdc à une nappe ou de l’hyperboloïde à deux nappes. Pour le démontrer, soient
(2) x=mz, y = nz
les équations d’nnc droite passant par l’origine; on peut
éliminer x, y, z entre les équations (I) et (2), il vient ainsi :
si cotte équation est satisfaite, la droite (2) sera sur la surface ( 1 ) et , si l’on fait varier m et n de manière que cette même équation ait toujours lieu, la droite (2) tournera autour de l’origine et engendrera la surface. U suit de là que l’équation (J-) représente un cône du second degré.
Cette surface peut être considérée comme un hyperboloïde à une nappe dont l’ellipse de gorge se réduit à un point , ou comme tin hyperboloïde à deux nappes dont l’axe réel se réduit à’ zéro. .
542. Cylindres elliptique et hyperbolique. Nous n’avons plus à considérer que le cas où quelqu’un des coefficients P, F, P" est nul dans l’équation
* • >■ , ifii,
px!+py+pv=n.
Supposons, par exemple, P"=0; l’équation se réduit à Px’-f P’y=H,
et elle représente (n° 287), un Cylindre dont les génératrices
sont parallèles à l’axe des * Si P et P' sont de même signe, la base de ce cylindre est une ellipse; cétte ellipse peut être imaginaire ou se réduire à un point; dans ce dernier cas, la surlace se réduit à l’axe des z. Mais si P et P' sont de signes contraires, la base du cylindre èst une hyperbole: cette hyperbole peut se réduire à deux droites qui' se coupent et, dans ce cas, la surface est composée de deux plans qui se couplent. •' " ’
343. Si l’on a ep même temps P =0 , P"= 0, l'équation de la surface se réduit à .
Px* = H;
elle représente alors le système de deux plans parallèles, qui se réduisent à un seul si H est nul.
’ Discussion des surfaces dénuées de centre. . -
