PP

Cette courbe est une ellipse dont les axes sont \J~ipx’ et sjip'x' -, elle est réelle si £ est positif ; et, si x' varie d’une manière continue de zéro à l’infini, œtte ellipse engendrera le paraboloïde. Le rapport des axes de l’ellipse génératrice est constant et

égal à K ces axes varient l’un et l’autre de zéro à l’infini.

Il s’ensuit que le paraboloïde elliptique est une surface formée d’une nappe qui s’étend à l’infini dans un sens seulement.

Remarque. Si l’on a p = p , l’ellipse génératrice se réduit à un cerçle, et le paraboloïde est de révolution.

34G. Paraboloïbe uyperboliqüb. Les coefficients P' et Q étant positifs , si P" est négatif, la surface que représente l’équation (t) est dite un Paraboloïde hyperbolique. Cette

surface, comme la précédente, ne coupe les axes qu’à l’origine des coordonnées. Les i/.Æ plans xs et xy sont des plans /■•■ a7 principaux ; l’axe des x est dit

~ l’aare du paraboloïde. Les deux plans principaux coupent la surface suivant deux paraboles ÂOA’, BOB' (fig: IBS), dites sections principales et qui ont pour équations :

ÿ* = 2pr, •

Digitizéd bV

SURFACES DU SECOND DEGRÉ.- • 431

En faisant — — ip, — = — 2p', l’équation du paraboloïde peut s’écrire ainsi : . ,

Le paraboloïde hyperbolique est susceptible d’une génération analogue à celle des autres surfaces du second degré; Seulement ici la génératrice, au lieu d’être une ellipse, est une hyperbole; en effet, si l’on coupe la surface par un plan parallèle au plan yz, l’intersection est représentée par deux équations de la forme :

Cette courbe est une hyperbole dont les axes sont \±%px' et \/zt. 2 p'x’. Cette hyperbole est toujours réelle; Taxe imaginaire. et l’axe réel se changent l’un dans l’autre, quand x' passe du positif au négatif ; elle se réduit à deux droites, dans le cas intermédiaire de a:'=0. On voit que,- si x' varie d’une manière continue de — c» à -f-co , l’hyperbole mobile engendrera la surface qui s’étend à l’infini dans tous les sens.

547. Les deux paraboloïdes sont susceptibles d’une génération commune; on a en effet ce théorème:

Éteint données deux paraboles, dont les plans sont perpendiculaires, dont les sommets coïncident et dont les axes sont placés sur la même ligne droite ; si l’une des deux paraboles se meut de manière que son axe et son plan restent parallèles à eux - mêmes , que son sommet soit constamment sur l’autre parabole, la surface engendrée sera un paraboloïde. Le para-

boloïde sera elliptique, si l'axe de la parabole mobile est dirigé dans le mime sens que celui de la parabole fixe; il sera hyperbolique , dans le cas contraire.

En effet , soient

2 = 0, • y* = 2 px.

les équations de la parabole fixe, AO.V (fig. t(il et 105), '

celles de la parabole mobile BOB', lorsque celle-ci est dans le plan xz; pour un point quelconque D de la parabole fixe, on a : •

x—x', y — y', 2 = 0, et •

y’* = 2 px'.

Lorsque (a parabole mobile a pour sommet le point D, ses

équations sont évidemment . • , ,

et on aura l’équation de la surface engendrée, en éliminant

x', y' entre les trois équations précédentes; il vient ainsi :

.• PP ,v.,

548. Cuisdre parabolique. Un seul cas reste à examiner, celui où l’un des coefficients P' ou P" est nul dans l’équation

P'y* -f- P"z* = Qx. % V.

Supposons, par exemple , P"— 0 ; l’équation se réduit à .

SURFACES DU SECOND DEGRÉ

Elle représente un cylindre dont les génératrices sont parallèles à l'axe des z et dont la trace sur le plan xy est une parabole ; la surface que nous considérons est donc un Cylindre parabolique. . * V . .

Remarque. Si l’on a P =0, P" = Q; l'équation de la surface • > se réduit àx=0 et représente le plan y z; elle n’appartient plus proprement au second degré. .

, ' Résumé , V /' .