En résumé les surfaces, contenues dans l’équation
du second degré, sont les suivantes : • ’ .
1° Surfaces qui ont un centre unique : V Ellipsoïde (il peut être imaginaire ou se réduire à un point); l’Hyperboloïde à une nappe ; l’Hyperboloîde à deux nappes, les Cônes du second degré (ils forment une variété de l’hyperboloïde à une ou à deux nappes); ‘ . . *•?' ' . - . . ' .
2° Surfaces qui ont une infinité de centres en ligne droite.
Le Cylindre elliptique (pouvant se réduire à une simple droite); le Cylindre hyperbolique (pouvant se réduire au système de deux plans qui se coupent) ;
, .t° Surfaces qui ont une infinité de cf.ntrbs dans un même plan. Système de deux Plans parallèles (pouvant se réduire à
un seul); ‘
4° Surfaces dénuées de centre. Le Parabolûïde elliptique ;
le Paraboloïde hyperbolique ; le Cylindre parabolique.
natcr e des sections planes' des surfaces do second degré.
550. Toute section plane d’une surface du second degré est , comme on l’a Vu (n» 297), une courbe du second degré. Il nous reste à examiner quel est le genre des courbes du se-
. ' ; ' SE . . ■ v •
m GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.
cond degré que l’on obtient, en coupant par des plans chacune des diverses surfaces étudiées précédemment.
Remarquons d’abord que la projection orthogonale ou oblique d’une courbe du second degré sur un plan est une courbe du second degré de même espèce. En d’autres termes, si la section d’un cyiindre par un plan , non parallèle aux arêtes, est une courbe du second degré C ; toute autre section , non parallèle aux arêtes,, sera une courbe <lu second degré de même espèce. En ellèt, si l’on prend pour plan xy le plan .de la courbe G et pour axe des s- une droite parallèle aux génératrices du cylindre, il est évident que l’équation de ce cylindre sera du second degré entre les deux seules variables x, y ; par cqtte équation est la même, que celle de la courbe G dans le plan xy. Le cylindre que nous considérons étant une surface du second degré toute* section- C' non parallèle aux arêtes sera une courbe du second degré. En outre, si la courbe Ç est fermée , il est évident que la courbe C' sera aussi fermée; si an contraire la courbe C a deux ou quatre branches infinies , la combe C' aura également deux ou quatre branches infinies. 11 s’ensuit que lès combes G et C' sont de
maille espèce.
Ou voit par là que, pour connaître la nature d’une courbe dit second degré dans l’espace , il suflit de savpir quelle est la nature de sa projection sur l’un des trois. plans coordonnés.
551. Gela posé , nous allons étudier successivement les sections planes des surfaces a centre et celles des deux para- Imloides, le cas des cylindres pouvant être mis de coté d’après ce qui précède.
F.lupsoïue. Prenons l’équation de l’éllipsoïde sous la forme :
SURFACES DU SECOND DEGRÉ, et coupons la surface par le plan
,(2) z = mx + ny + k. {
Si l’on élimine z entre les équations ( 1 ) et (2), il vient
Désignons par D la différence entre le carré de la moitié du coefficient du rectangle æy et le produit des coefficients de a:’ et de y’, on aura : , ■ . . '*• +
a 'b* V? oV
On voit que la quantité D est constamment négative; (>ar conséquent l’équation (3) représente une ellipse. Il s’ensuit que toutes les sections planes de l’ellipsoïde sont des ellipses. Hyperboloioe a i nf, nappe, On passe de l’ellipsoïde à l’hy-
perboloïde à une nappe, en changeant, dans ce qui précède,
c* en — c*. Ainsi l’intersection de Fhyperboloïde
et du plan
a1 + b- c1 1 ’ z—mx-\-ny-\-k,
sera une ellipse, une parabole ou une fiyberbolé, suivant qiie la quantité D sera négative, nulle ou positive. Cette quantité a ici pour valeur : •.
On peut évidemment choisir les quantités m et n, de manière
' . * * , • -•* - . r m % r JK . ..
que D soit négatif, nul ou positif. Il s’ensuit qu’on peut obtenir toutes les courbes du second degré, en coupant un hyperboloïde à une nappe par des plans.
Hïperboloïde a deux nappes. On passe du cas qui précède à celui de l’hyperboloïde à deux nappes, en changeant partout 6* en — b*. L’équation de la surface est; *
,La nature de son intersection par le plan
s — mx -)- ny + k,
dépendra du signe de la quantité D, qui a ici pour valeur :
1 mi n*
D ~ 0*6* — 6V + ÔV‘ . -
Cette quantité peut être négative, nulle ou positive; d’où il suit que l’hyperboloïde à deux nappes donne pour sections toutes, les courbes du second degré. / - , Y >
Paraboloïde elliptique. L’équation du paraboloïde elliptique
ests- . .
La projection sur le plan xy de l’intersection de cette surface par le plan
• s = mx -f- ny -f k a pour équation: - ,
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SURFACES DU SECOND DEGRE
• ur
La quantité D a pour valeur : /. *.
PP
par suite elle ne pourra être que négative ou nulle; il s’ensuit que les sections planes du paraboloïde elliptique sont des ellipses, sauf celles qui sont parallèles à l’axe et qui sont des paraboles.
Parabolouik hyrerbolïque. On passe du paraboloïde elliptique au paraboloïde hyperbolique, en changeant p ’ en — p\ On peut donc conclure de ce qui précède que toutes les sections planes du paraboloïde hyperbolique appartiennent au genre hyperbole, à l’exception des sections parallèles^ l’axe, lesquelles sont des paraboles.
CÔNE ASYMPTOTE d’CN HYPERBOLOÏDE.
552. On nomme Cône asymptote d’un hyperboloïde à une ou à deux nappes, le lieu des asymptotes de toutes les hyperboles que l’on obtient en coupant l’hyperboloïde par des plans passant par son centre. '*•* , •
- Proposons-nous de former, d’après cette définition, l’équation du cône asymptote de l’hyperboloïde
(i) PÎp’-f py+FV =-H}
si l’on coupe la surface par le plan • . • '
‘*(2) z — mx- \-ny,
la projection de l’intersection sur le plan xy aura pour équation: \
* * Px‘ + P'y* + P" ( mx + ny)1 = H ;
m GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.
supposons que cette courbe soit une hyperbole, les projections des asymptotes seront évidemment représentées par l’équation
P .T2 + Py'-|4 P" (mx + ny)*= 0.
Or ces asymptotes sont dans le plan (2), donc elles sont aussi sur le cône
Px* + Py + P"z‘ = 0,
qui est, par suite , le cône asymptote.
Et généralement , si un hyperboloîde est rapporté à trois axes quelconques passant par son centre, de manière que l’équation de la surface ait la forme :■
kx- -f A y + AV + 2B yz + 2B'a:z + Wxy -f K=0,
l’équation du cône asymptote sera :
AV + A'y* + AV + 2B yz + 2B'x*+2B"«ÿ=0.
Il suffit, pour le démontrer, de répéter textuellement le raisonnement que nous venons de faire.
555. Il est facile, de démontrer que les points de l’hyperboloïde s’approchent indéfiniment du cône asymptote, à mesure qu’ils s’éloignent à l’infini. Nous entendons que les distances des points de l’hyperlwloïde au cône asymptote sont comptées suivant des droites parallèles à l’un des axeS des coordonnées. Supposons l’éqqation de l’hyperbploïde ramenép à la forme:
'Px’-fPy+P"z’=H;
Péquation du cône asymptote s'era :
SURFACES DU SECOND DEGRÉ
Soient fx, y, z) , (fl?, y, *,') doux points appartenant l’iin à l’hyperboloïde, l’autre au cône asymptote, on auru ; ,
Ptf + Vy* +?V = H,
Px! + Py + PV = o; / •
retranchant il vient
et • . ■ .
. z z>- P "(z+zy
Si x et y deviennent infinies, z et z, seront aussi infinies; an peut d’ailleurs les supposer dé môme signe, d’où il suit que z — z, tend vers zéro. Cela prouve que la surface du cône s’approche indéfiniment dé la surface de i’hypërboloïde.
554. Si l’on coupe par un plan un hyperboloïde et son cône asymptote , on obtient deux courbes de même genre.
En effet , soient
Px* -f Py -f P "z* = H', „■ '
Px’-f py + pv = o,
les équations d’un hyperboloïde et du cône asymptote. Si l’on coupe ces surfaces par le plan
z== mx -j- ny k ,
les équations des projections sur le plan xy des deux courbes obtenues ne différeront que par leà termes du premier degré et par le terme indépendant des variables. Il s’ensuit évidemment que ces courbes sont de môme genre: On peut môme ajouter qu’ejles sont semblable », si l’on se reporte aux consr-
dérations que nous avons développées dans l'appendice à la géométrie analytique à deux dimensions.
