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et

ï+'M^ÿ' î-HH'+f)’

seront celles de deux droites situées sur la surface et passant par le point (x', y', s')'.

51>B. Il est important d’établir que toute droite tracée sur l’hyperboloïde appartient nécessairement il l’un des deux systèmes dont nous venons do constater l’existence. Supposons en effet qu’une droite AB située sur la surface n’appartienne ni au système (X) ni au système (p). Par un point A de AB, menons une droite AL du système (X); puis, par chacun des points de AB, menons une droite du système (p); chacune de ces droites rencontrera AL et, par suite, elles seronttoutesdans un même plan, ce que nous avons démontré être impossible.

4ii

559. Les deux systèmes de droites, qu’on peut tram sur l’hyperboloïde

•ont, comme on vient de voir, pour équations ;i

Si l’on transporte ces droites parallèlement à elles-mêmes au centre de la surface, leurs équations deviennent évidemment: -, ' »

Éliminante entre les deux premières, ou p entre les deux dernières , il viept : /• ' , . .

• • xl y': z* •

Il résulte de là que : 1

Toutes les droites situées sur l’hyperboloïde , étant transportées au centre parallèlement à elles-mimes , s’appliquent exactement sur le cône asymptote. V V*:

D’où l’on peut conclure immédiatement que :

Trois droites situées sur l'hj/perboloïdc ne sont jamais parallèles à un même plan. ■.'~f ctlêSt-'

,’Oigitizèd‘by GqQgle

SURFACES DU SECOND DEGRÉ. «5

Car, autrement, il y aurait trois génératrices du côneasympote dans un même plan.

II est très-aisé de reconnaître , soit par le calcul , soit par des considérations géométriques fort simples, que les projections des droites (X) et (|i) sur les plans coordonnés sont tangehtes aux sections principales.

560. Si, par l’une des droites qu’on peut tracer sur l’hyperboloïde, on fait passer un plan, ce plan coupera la surface suivant une seconde droite, puisque les sections planes des surfaces du second degré sont des courbes du second degré. Les sections ainsi obtenues sont dites sections rectilignes.

Les mômes droites prennent aussi le nom de génératrices rectilignes , parce qu’ellès peuvent être considérées comme étant les diverses positions d’une droite mobile, qui dans son mouvement , engendre la surface. En ett'et, soient L, L’, L" trois génératrices du système (X) ; par chaque point de L on peut mener une droite M du système (pu) , laquelle rencontrera les droites L’ et L". Le mouvement de la droite M ést déterminé par la condition qu’elle rencontre les droites L , L', L"; et il est clair que, dans ce mouvement, cette droite.mobile engendrera la surface.