DU SECOND DEGRÉ

DISCUSSION d’uke équation du second degré a trois variables.

569. Nous nous proposons démontrer, dans ce chapitre, comment on peut déterminer la nature de la surface représentée par une équation numérique du second degré à trois , variables. ' • * * • .

Soit à étudier la surface représentée par l’équation :

.. ~ Ax5 -J- X'y- + AV -f 2%; + 2B’xz + 2B'xy

+ 2Gx + 2C’y -f 2C"z 4-Ks=0.

On commencera par former les équations qui déterminent les coordonnées du centre; trois cas peuvent se présenter:

1» H y a un centre unique ; la surfine est alors un ellipsoïde , un hyperboloïde à une ou deux nappes ou un cône;

2° Il y a un nombre infini de centres en ligne droite ou situés sur un même plan; la surfaeeest alors un cylindre à base elliptique ou hyperbolique , ou le système de deux plans parallèles; ; * ;

3B II n’y a pas de centre. La surface est alors un parabôloïde elliptique ou hyperbolique ou un cylindre parabolique.

Nous examinerons successivement ces trois, ças, - •/

4 eu GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.

Surfaces qui ont un centre . .

370. Lorsqu’on se sera assuré qu’il existe un centre unique; pour connaître la nature de la surface, on résoudra l’équation proposée par rapport à l’une des coordonnées dont le carré figure dans l’équation; si a est, par exemple, cette coor-

tl - ’ ' »* ,

donnée, on aura une expression de la forme :

z=^mx-\-ny-\-ji±\jaÿ-\- bxy -f- ex? + dy -f ex -f- f.

Les points du plan xy, sur lesquels se projette la surface, sont définis par l’inégalité : • • • ■ ■'

ayt -+-bxy-\-cxt-{-dy-\-ex+f>0.

, L’espace recouvert par ces points est séparé du reste du plan par la courbe dont l’équation est 7 '* <

ay'-\-bxy-\-cxt-\-dy-\-ex-\-f—0.

Trois cas peuvent se présenter : [> ' .

i® Cette courbe est une ellipse ;

2° Cette courbe est une hyperbole ;

3® Cette courbe est imaginaire.

Il est évident qu’elle ne peut jamais être une parabole; car les coordonnées a? et y de son centré sont les mêmes que les coordonnées x et y du centre de la surface.

371. Si la courbe. est une ellipse , la surface se projette à l’intérieur ou à l’extérieur d’une ellipse ; ou saura lequel de ces cas se présente en cherchant si, pour les valeurs deas et de y qui correspondent au centre de la surface , la valeur de g est réelle ou imaginaire : or il est clair qu une surface du second degré à ceritre , qui se projette dans l’intérieur d’une ellipse ,

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