COMPLÉMENT DE LA THÉORIE DES SURFACES DU II* DEGRÉ

est un ellipsoïde; et une surface, qui se projette à l’extérieur d’une ellipse , est évidemment un hyperboloïde à une nappe.

Si la courbe est une hyperbole, la surface se projette à l’intérieur ou dans la partie extérieure à l’hyperbole ( nous nommons partie extérieure à l’hyperbole celle qui est du même côté que le centre) ; on saura lequel de ces cas se présente en cherchant si , pour les valeurs de a: et de y qui correspondent au centre de la surface , la valeur de z est réelle ou imaginaire. Or, il est évident qu’une surface du second degré à centre, qui se projette sur la partie du plan extérieure à une hyperbole , est un hyperboloïde à une nappe ; et que celle, qui se projette sur la partie intérieure, est un hyperboloïde d deux nappes.

Si la courbe est imaginaire, l’expression qui, dans la valeur de z, figure sous un radical, est toujours positive ou toujours négative, quelles que soient les valeurs de x et de y. Dans le premier cas , la surface se compose de deux nappes distinctes séparées parle plan diamétral z=mx-\-ny-\-p ; elle est un hyperboloïde à deux nappes. Dans le second cas la surface est imaginaire.

Dans la discussion qui précède nous avons omis deux cas particuliers qu’il est bon d’indiquer.

L’ellipse, à l’extérieur ou à l’intérieur de laquelle la surface se projette, peut se réduire à un point ; la surface est alors un cône ou un point.

L’hyperbole , qui sert de limite à la projection , peut se réduire à deux droites ; la surface est alors un cône.

572. Mais il existe un dernier cas qui reste en dehors de notre discussion et que nous devons traiter actuellement. C’est celui où l’équation , ne renfermant le carré d’aucune coordonnée , no pourrait fournir, pour aucune d’elles , une expression de la forme admise plus haut L’équation proposée

est alors de la forme i>.

2Bi /z + 2B'xz+2B"xy + 2Cx +2C'y + 2C"z -f F=;0.

Dans ce cas, si l’on résout l’équation par rapport à z, on obtient une expression rationnelle , et par suite toujours réelle, et la surface recouvre.lt! plan xy de sa projection; car, pour toutes les valeurs de x et de y, on aura une valeur réelle de z. L’ellipsoïde ne pouvant évidemment présenter ce caractère, nous avons à décider entre l’hyperboloïde à une ou à deux nappes. ' ■' - '

Or, c’est ce que l’on peut faire au moyen du théorème suivant:

Théorème. Toute droite qui ne rencontre qu'en un seul point un hyperboloïde à une nappe est parallèle d une génératrice rectiligne de la surface. , -, V * ■

Prenons l’équation de l’hyperboloïde à une nappe sous la forme

■* yf *'

' soient

x — mz-\-p, y = nz-$-q,

les équations d’une droite. En éliminant x ety entre les équations de cette droite et celle de la surface , il vient :

La condition pour que la droite rencontre la surface en un seul point est : • '