COMPLÉMENT DE LA THÉORIE DES SURFACES DU 11* DEGRÉ

or cette équation exprime évidemment que la droite qui a pour équations : r ■ '

x — mz, y=n;,

est située sur le cône , ‘

Donc lorsqu’une droite ne rencontre l’hyperboloïde qu’en un point, elle est parallèle à l’une des génératrices du cône asymptote et par suite à une génératrice de l’hyperboioïde.'

On déduit immédiatement de ce théorème que :

Si une équation du second degré, qui ne renferme pas le carré de s, représente un hyperboloïde à une nappe , l’axe des x est parallèle à l’une des génératrices rectilignes de la surface.

D’après ce qui précède, pour savoir si l’équation \

2By* + ‘iVxx + Wxy + 2Gz-f "2£'y -f 2C"z + F = 0 ,

représente un hyperboloïde à une nappe, on cherchera si elle peut être satisfaite identiquement en y supposant x~a, y=p, et choisissant convenablement les constantes a et [3. fl faudra exprimer qu’après cette substitution le terme en x est nul ainsi que le terme indépendant de z; et l’on aura:

Bp-fB’a-f C"==0,

2B"<*p + 2Ca + 8G'§ + F = 0.

Ces deux équations fourniront pour a et p des valeurs réelles ou imaginaires. Dans le premier cas, la surface sera un hyperboloidè-à une nappe; et, dans le second, un hyperboloïde à deux nappes. <

Remarque. La discussion, que nous venons de faire, n’exige pas que l’on change les axes des coordonnées ; nous devons avertir cependant qu’il sera presque toujours plus commode de commencer par transporter l’origine, des coordonnées au centre. Lorsque cette transformation sera faite, on apercevra immédiatement si la surface considérée est un cône : la con-

dition, nécessaire et suflisante, pour cela, est que l’équation devienne homogène et, par suite, que le terme indépendant des variables disparaisse de l’équation transformée. En effet, les génératrices du cône ayant des équations de la forme :

x=mz, y=nz,

après l’élimination de a; et de y entre ces équations et celle de la surface, z aura aussi disparu ; ce qui ne peut arriver que si l’équation de la surface est homogène. Au surplus, le cône est compris dans l’hyperboloïde à une nappe ; en cherchant les génératrices rectilignes , d’après la méthode qui sera indiquée plus bas , on saura immédiatement si la surface proposée est un cône.

Surfaces qui ont un nombre infini de centres.

373. La discussion de ces surfaces résulte de ce qui a été dit (ni” 324-325) à l’occasion de la théorie du centre. S’il existe une droite dont tous les points sont des centres, la Surface est un cylindre à base elliptique ou hyperbolique; on distinguera ces deux cas l’un de l’autre; en faisant une section parallèle à l’un des plans coordonnés.

' S’il existe un plan dont tous les points soient des centres, la surface se réduit à deux plans parallèles.