U1Ô " SIR

Pareillement le triangle MP, K donne

• P,K sinP.MK P.K. sin(« — «')

— i- — OU —

MP, sin P,kSi ’

sinO

• MK sinMP,K MK sin*

MP, s in P , KM ’ y, siné »

d’où

=>, ol MK=»4jw

srnft sm8

Il vient, par suite,

.. „-r,sin(8— •) + y1sin(#— ■ *')

^ •• ’ sine *

^ain«4;ÿtsin«' ^ ( , . \ . •.

y sin 0 .

L'angle 6 est compris entre 0 et 180% mais chacun des angles a et a’ peut varier de O à 3t»0

Les formules précédentes n’ont été établies que dans l hypothôse a < a' < 8 ; de plus, nous avons supposé positives les quatre coordonnées a:, y, xt, i/, ; mais on peut s’assurer que ces formules sont générales, en appliquant à tous les divers cas qui peuvent se présenter les raisonnements dont nous venons de faire usage; nous n’entrerons pas, pour le moment, dans le détail de cette discussion , et nous admettrons la généralité des formules, sur lesquelles nous reviendrons d’ailleurs dans la suite de cet ouvrage. . " . ■' v -

61. Cas général de la transformation des coordonnées rectilignes. Supposons qu’on veuille passer d’un système d’axes à un autre système d’axes d’origine et de directions différentes. On pourra faire le changement en deux fois; transporter d’abord les axes parallèlement à eux-mêmes à la nouvelle origine, puis changer ensuite leur direction. Il est évident, d’après cela,, que si a: et y désignent les anciennes coordonnées d’un point, x, et y, les nouvelles coordonnées du même point , on aura

xtsin(6 — «)-f-y,sin(6— <*) sin 9

x, sina-f-y,sina' sJnO . ’

formules où a, 6, 6, a, a! ont la même signification que précédemment •./ % ,• •

62. Formules de transformation relatives au cas des coordonnées rectangulaires. Si les nouvelles coordonnées sont rectangulaires , on à . ... •- . '•

et les formulés générales du n° 61 deviennent :

, x. sin(8— -a) — y,cos(® — *) '

smft •

•'* | g, sin «+ y, pose >

Si au contraire les anciennes coordonnées sont rectangu*

aires, on a : fl = 90° ; et les formules du n° 61 deviennent :

x = o -f xt cos * -f- y , cos

Enfin , si les nouvelles coordonnées sont rectangulaires , en même temps que les anciennes , il faut faire

dans les formules précédentes, qui deviennent:

a;=a-4-artcosa — y,sina, »

y = b -f xt sin « + ÿ i cos «,

foutes ces diverses formulés se simplifient, dans le cas où l’origine des coordonnées reste invariable. On a effectivement alors -, , ' •

a=tO, fc=0.

Remarque. Les anciennes coordonnées d’un point sont, dans tous les cas, des fonctions linéaires des coordonnées nouvelles. C’est sur cette remarque importante que repose la classification des lignes algébriques dont nous allons nous occuper.

65. Clatsifiçation des lignes algébriques. Une ligne est dite algébrique ou transcendante , suivant que son équation est elle-même algébrique ou transcendante. Les lignes algébriques , dont nous aurons surtout à nous occuper, se classent naturellement d’après le degré de leur équation en coordonnées rectilignes. Ainsi une ligne est dite du premier, du deuxième, etc. degré, suivant que l’équation algébrique qui la représente est elle-même du premier, du deuxième, etc. degré. Mais une pareille classification ne serait d’aucune importance, si le degré d’une ligne pouvait avoir diverses valeurs, suivant que cette ligne serait rapportée à tels ou tels axes de coordonnées. Nous allons montrer qu’il n’en est point ainsi et ' que le degré d’une ligne algébrique reste le même, quels que soient les axes auxquels on la rapporte. Considérons, en

effet, une ligne qui, rapportée à deux axes rectilignes, soit représentéë par une équation du degré m,

Désignons par xy ety, les. coordonnées de cette même ligne rapportée à deux autres axes quelconques. Puisque x et y sont des fonctions linéaires de x, et y, , la substitution de ces fonctions à a; et y dans l’équation n’en élèvera pas le degré. Je dis de plus que le degré ne sera pas abaissé; car autrement, en remettant au lieu de xt et y, leurs valeurs qui sont à leur tour des fonctions linéaires de x et de y, le degré se trouverait élevé, ce qui est impossible.

64. Lorsqu’une équation algébrique du degré m, ramenée à la forme

résulte de la multiplication de plusieurs autres équations de degrés inférieurs, l’ensemble des lignes représentées par celles-ci constitue le lieu de l’équation proposée. Ainsi dans la catégorie des lignes du degré m, il faut comprendre, comme cas particuliers , toutes les lignes de degrés inférieurs. En particulier, l’équation du deuxième degré, que l’on obtient en multipliant entre elles deux équations du premier degré, représente un lieu qui est formé de deux lignes du premier degré, mais qui participe également des lieux du deuxième. Cette considération, dont on fait souvent usage , est d’une haute importance. Les équations qui appartiennent proprement au degré m, c’est-à-dire, celles qu’on ne peut décomposer en plusieurs autres, sont nommées équations irréductibles.

65. La propriété caractéristique des lignes du degré m consiste en ce qu’une droite ne peut les rencontrer en plus

de m points. En effet, prenons pour axe des x la droite dont il s’agit; en faisant y—0 dans l’équation de la courbe, l’équation en x, que l’on obtiendra, aura pour racines les abscisses des points d’intersection de la courbe avec la droite; mais cette équation est au plus du degré m , et par suite elle a au plus m racines réelles ; ce qui démontre la propriété énoncée. „

Remarque 1. Cette démonstration suppose que, pour y=0, l’équation de la courbe ne se réduit pas à

Lorsqu’il en est ainsi, le premier membre de l’équation proposée est divisible par y, et l’équation se décompose en deux autres dont l’une ,

est celle de la droite donnée.

Remarque II. Les lignes du premier degré, ne pouvant être rencontrées par une droite qu’en un seul point , sont nécessairement des lignes droites.