J-acosô

Il faut bien remarquer que, dans cette formule, a désigne toujours l’angle formé par la direction des abscisses positives avec celle des deux directions de la droite donnée qui s’étend du côté des y positives. Cet angle peut varier de 0 à 180°.

Si les axes sont rectangulaires, on a

et la valeur de tang a se réduit à tanga=«.

73. Problème II. Connaissant l'angle qu’une droite fait avec l’axe des x ainsi que l’ordonnée à l’origine, trouver l’équation de cette droite.

Soient b l’ordonnée à l’origine et a l’angle que la droite donnée fait avec l’axe des x-, l’équation sera, dans le cas général (n° 74),

8»na

sin (8 — a)

UES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A DEUX VARIABLES. 79 et, dans le cas des axes rectangulaires.

y~x tanga 4- 6.

70. Problème III. Trouver l’équation de la droite menée, par un point donné, parallèlement à une droite donnée.

Soient M(æ', y[) le point donné (*) et y = ax la droite donnée qu’on peut supposer menée par l’origine.

La droite cherchée (n° 70) aura une équation de la forme

W y — ax + b,

et , puisqu’elle passe par le point M , on aura :

(2) y'=ax' + b,

cette dernière équation détermine b, et il ne reste plus qu’à porter sa valeur dans l’équation (i). L’élimination de b se fait immédiatement, en retranchant les équations (1) et (2) l’une de l’autre; on obtient ainsi l’équation demandée, savoir:

Remarque. En considérant a comme susceptible de prendre toutes les valeurs possibles , la précédente équation représentera toutes les droites qu’on peut mener par le point (x', y').

77. Problème IV. Trouver l’cquation de la droite qui passe par deux points donnés.

Soient (ad, y") et (x", y") les deux points donnés. La droite cherchée , passant par le point (x', y'), aura une équation de la forme

(*) Par cette notaUon Mis1, y'), nous désignons le point M dont les coordonnées sont x* et y*.

80 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS, mais, parce qu’elle passe aussi par le point ( x",y "), on aura :

y"—y'=a(x" — xf) d’où a = ^~^; l’équation de la droite cherchée est donc:

Remarque I. Cette analyse semble en défaut dans le cas de x" = x ; mais on sauve cette difficulté, en chassant le dénominateur x" — x1 de l’équatioir précédente, et en faisant ensuite x" =x'. On voit d’ailleurs immédiatement que, dans ce cas, la droite cherchée est une parallèle à l’axe des y dont l’équation est

Remarque II. On a souvent besoin de connaître le coefficient angulaire de la droite qui passe par deux points donnés (x',tf), [x", y") ; il est important de se rappeler que ce coeffi-

cient angulaire a pour valeur

x"—xT

78. Problkhb V. Trouver la distance de deux points dont on connaît les coordonnées.

Supposons d’abord les axes rectangulaires, etsoient M’(x', y"), M"(x", y") les deux points donnés, que nous supposerons situés dans l’angle yOx (fig. 47); menons les ordonnées M'P' et MT" et, par le point M", la droite M"K parallèle à l’axe des x; le

DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A DEUX VARIARLES. 81 triangle rectangle M'M"K donnera :

MM* = M"K* + M'K* = PP"* 4- Mit', ou , en remplaçant P P' et M'K par leurs valeurs x' — x" et

11 est aisé de vérifier que cette formule a lieu pour toutes les positions qu’on peut assigner aux points M" et M'. En désignant donc par R la distance M"M', on aura, dans tous les cas.

= *")*+(?/— y'T d’où R— V/(jr'— *')' + (ÿ— y")1.

Considérons maintenant le cas des axes obliques et

supposons toujours , pour fixer les idées, les deux points y") , M" (. x ", y") situés dans l’angle yOx.

Menons les ordonnées M"P", M P' ( fig. 48), et la droite M"K parallèle à x'x.

On aura, dans le triangle M"M'K .

fie. le.

M"M': = M"K* + M K' — 2M"K X M'K X cos M' KM'.

Remplaçant M"K et M'K parleurs valeurs, x — x" et y' — y", et désignant par 0 l’angle y0.r, par R la distance M"M', il vient

R* = (*'—*")' + (ÿ— y" * + â/— >■"[ fy — y")cos6,

dF:

vif , 'a

fi

it.

Si GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS, d’où

R = v^x'— x")* + (y' — y")1 + ‘ix' — x") ( y ' — y") cos e.

- U est facile de vérifier que cette formide est générale.

79. Problème VI. Étant données les équations de deux droites, trouver les coordonnées de leur intersection.

Soient

!/ = ax + b y = a'x b'

les équations de deux droites. Les coordonnées de leur intersection doivent satisfaire aux équations précédentes j et , réciproquement, le point dont les coordonnées satisfont à ces équations appartient aux deux droites.

Des équations précédentes, on tire:

b'— b , ab' — ba‘

ce sont les coordonnées du point cherché.

Si a est égal à a ' et que 6 soit différent de b', les valeurs dç x et de y sont infinies. Dans ce cas , les droites sont parallèles, et leurs équations n’ont pas de solution commune.

Si l’on a en même temps a = a' et b = b', les valeurs de x

et de y ont la forme -. Dans ce cas les deux droites coïncident. ^ .

80. Problème VII. Étant données les équations de deux droites, trouver l’angle de ces droites :

1° Supposons les axes rectangulaires, et soient

y =ax et y=a'x

les équations des droites données ÀD et A'B' (fig. 49), menées par l’origine, parallèlement aux droites données.

Désignons par V l’angle

ties de ces droites qui sont situées au-dessus de l’axe des x, et soit

BOx=a et B'Ox=a.

et, par suite,

tanga— tanga' a — a'

tangV = — - — ou tangV = — ;.