ÉQUATION DU CERCLE

Ui». On obtient immédiatement l’équation de la circonférence de cercle, en exprimant que. la distant* du centre à un point quelconque de la courbe -est égale au rayon.

Soient donc x et y les coordonnées d’un point de la circonférence, a et b les coordonnées du centre, et It le rayon; on aura (n° 78) :

(!) (x — a)*-|-(y — &)*-{- 2(x — a) (y — b) cos 0 = H!.

C’est l’équation générale de la circonférence, dans l’hypo thèse oit les axes font entre eux un angle égal à 0;

Si les axes sont rectangulaires, on a 8=00% et l’équation précédente devient :

Lorsqu’on prend pour axes deux diamètres perpendiculaires, on a a = 0, 6 = 0, et l’équation se réduit à

comme on l’a déjà trouvé (n° 54).

Enfin il est bon de remarquer la forme de l’équation de la circonférence, lorsqu’on prend pour axes une tangente

quelconque et le diamètre qui passe par le point de contact. Supposons, par exemple, que l’axe des y soit tangent et que l’axe des x passe par le centre, il faudra faire dans l'équation (2)

et cette équation devient alors :

ou , en développant ,

y" -j-x* — 2Rx = U.

lit». L’équation de la circonférence est du second degré , mais elle ne constitue qu’un cas très-particulier des équations du second degré, dont la forme générale est

[i ) A y* + Bxy + Cx5 + Dy + Ex + F = 0.

Il est facile de trouver les conditions qui doivent être remplies pour que la précédente équation appartienne à une circonférence de cercle. Pour que cela ait lieu , il faut que l'équation (1) puisse être identifiée avec l’équation

(x — a)s + (y — 6)8-f-2(x — a) (y — 6) cos 6 — R* = 0

qui, en développant, devient:

(2} y8-|-2xy cos 9 -(- xs — 2(6-1- acosb) y — 2(a-f-6cos8)x -f a'- + 6* + 2a6 cos 0 — R8 =0 ,

par suite, il faut que les coetiicicnts des termes semblables

soient proportionnels. En exprimant cette condition, on trouve :

(3) - = 2 cos 8 , j = l, ■

^ = — 2(6-f-acos8)

— = — %a -f- b cos 0)

^•=aï + 6, + 2o6cos0 — R*.

Les équation (3) donnent :

(5) A = G, B = 2AcosO;

ce sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que l’équation (1) représente une circonférence. Lorsqu’elles sont remplies, les trois équations (A) feront connaître les coordonnées du centre et le rayon du cercle.

Dans le cas des axes rectangulaires, on a cos 8—0, et les équations de condition (5) se réduisent à

Ainsi pour qu’une équation du second degré appartienne à une circonférence, dans le cas des coordonnés rectangulaires, il faut çt il suffit : i° que les coefficients des carrés des variables soient égaux; 2° que l’équation ne renferme pas le rectangle xy des variables.

CntKRCICES.

Questions résolues.

.87. Question l. Trouver réquation générale des droites, qui passent par le point de rencontre de deux droites données par leurs équations.

Nous représenterons simplement par

les équations des droites données; A et R seront alors des fonctions linéaires de x et y. Cela posé , je dis que l’équation cherchée est

(2) A -{- miB = 0 ,

m désignant un coefficient indéterminé.

En effet, on voit d’abord que l’équation (2) représente une droite, quel que soit m, puisqu’elle est du premier degré ; en deuxième lieu cette droite passe par le point de rencontre des droites (1), car l’équation (2) est évidemment satisfaite par les valeurs de x et y qui satisfont aux équations (1). Enfin l’équation (2) représente toutes les droites qui passent par le point de rencontre des droites (!) ; car, à cause de l’indétermination de m, on peut assujettir la droite (2) à passer par tel point que l’on voudra.

88. Question II. Démontrer, par les principes de la géométrie analytique, que les perpendiculaires abaissées des sommets d’un triangle sur les côtés opposés se coupent en un même point.

Prenons deux axes rectangulaires quelconques, et soient y — ax — j = 0, y — bx — 6 = 0, y — ex — -y — 0>

ou, pour abréger.

les équations des côtés BC, AC, AB du triangle ABC (fig. 51).

Toute droite AA', qui passe par le point A, a une équation de la forme

B + mC = 0,

ou

(l + m)y — (6-4- mc]x — Hg. si. (6 niy) = 0.

, . b 4- me . , ....

Le coefficient angulaire est ^ ^ ; si donc AA est perpen-

diculaire sur BC , on a (n° 80) b -\-mc

•Xfl + I=0, d’où m.

et l’équation de la droite AA' sera

ac-(-l ’

B — — 4~r C = 0 ou (ne 1)B = (ab -f- l)C.

ac \

Cette analyse montre clairement que les trois perpendiculaires AA', BB', CC', abaissées des sommets du triangle ABC sur les côtés opposés , ont respectivement pour équations

(ac + 1)B = (ab + 1)C,

(oi4-l)C = (6c + i)A,

(6c4-l)A=(oe + l)B.

Or il est évident que les valeurs de x et y, qui satisfont à deux quelconques de ces équations, satisfont aussi à la troisième , ce qui prouve que les droites qu’elles représentent se coupent au même point

89. Question III. Trouver l’équation de la ligne qui divise en deux parties égales l’angle de deux droites données par leurs équations.

Soient

y — ax — 6 = 0, y — a'x — b' —0

les équations des droites données mu' et vv' (fig. 52). rapportées aux axes Ox et Oy qui font entre eux l’angle 0.

Soient M(x, y) un point de la droite tt, qui divise l’angle uCv en deux parties égales, MP et MQ les perpendiculaires abaissées de M sur Ct> et Cu , on aura :

MQ

donc

ou

f(y — ax — b) sin 9)

y/t -f- 2a cos 0 -f a*

y — ax — b y/ 1 4- 2a cos 0 -f a’

MQ — MP ;

(y — a'x — 6') sin 0 V I + 2a' cos O -j- a'* ’

y/t -+■ 2a' cos 0 + a'*

■ ax

. /t -(- 2a cos 0 -f a

+ 2a' cos 0 -f- a'

V4 lîKOMKTlllE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

c’est, évidemment, l’équation de la droite demandée.

Remarque. Le radical du second membre doit être pris successivement avec le signe + et avec le signe — ; on obtient ainsi les équations des deux droites qui partagent en deux parties égales les quatre angles formés par les droites données.

90. Question IV. Trouver l’équation de la droite qui joint les points d’intersection de deux circonférences, données par leurs équations.

Soient

les équations de deux circonférences,, rapportées à des axes rectangulaires quelconques.

En retranchant ces équations membre à membre, il vient:

(x — a')* — (x — «)*-}- (y — b')* — (y — b)1 — R’! — II* ;

le lieu, représenté par cette équation, passe évidemment par les points communs aux circonférences (1) et (2); elle est d’ailleurs du premier degré ; car, en effectuant les calculs, elle se réduit à