Si les racines du trinôme sont égales
entre elles, on a, en désignant par jr1 leur valeur et en faisant, comme précédemment, m = |x’,
et
Ba: + D g ,4 2A 2A 1 1
On voit que, dans ce cas, l’équation proposée représente deux droites , qui se coupent sur le diamètre au point dont l’abscisse est x ; le premier membre de l’équation proposée est alors la différence de deux carrés, car de l’équation précédente, on tire :
(2Ay Bx -f- D)1 — (x’i'x — x')' = 0 ,
qui n’est autre que la proposée sous une autre forme.
100. Supposons enfin que les racines du trinôme mxl-\- 2n.r-)-p soient imaginaires.
Dans ce cas Y ne peut s’annuler et la courbe ne rencontre pas le diamètre X'X (fig. 59). En faisant, comme plus haut, m = gs, on peut écrire la valeur de Y de la manière suivante :
IL ôtant positive , on aura la valeur minimum de Y
fl \ / fl*
en faisant x — ; nette valeur est — \/ p Soit D
le point dont l’abscisse est -, menons, parce point, une pa-
rallèle à l’axe Oy et prenons, sur cette parallèle de part et
d’autre du diamètre , CE = CE' = ^ \ / p — ; les points E
et E' seront les points de la courbe les plus rapprochés du
diamètre. Enfin si l’on fait varier x de — ” à ±co, la va-
leur de Y croît constamment depuis sa valeur minimum jusqu’à l’infini ; d’où il suit que la courbe , dont nous nous occupons, a, de chaque côté du diamètre X X, deux branches qui s’étendent à l’infini , comme l’indique la figure 59.
11 est aisé de voir, en posant
que le point C,
l’axe Oy, menée par le point D.
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rencontre le diamètre X'X, est un centre de l’hyperbole , et que les droites X'X et E'E sont deux diamètres conjugués. Nous ne croyons pas nécessaire d’insister suc ce point.
Remarque. Suivant que les racines du trinôme mx'- f-2rw-f P sont réelles et inégales, ou imaginaires, on a :
. n' — mp > 0 ou n* — mp <0;
par conséquent, pour que l’équation proposée représente effectivement une hyperbole , il faut et il suffit que l’on ait :
B’— 4AC>0 et AE*-+- CD’ — BDE + F (B* — 4AC)> ou <0.
Si la deuxième condition n’est pas remplie , l’équation proposée représente le système de deux droites qui se coupent , système qui constitue une variété de l’hyperbole.
101. Le cas de A=0 échappe à la discussion précédente; il importe de l’examiner à part. L’équation proposée se réduit alors à
Bxy + Cx* 4-Dy-|-Ex-f-F:=0;
il faut remarquer qu’on ne peut avoir ici B=0, car il s’ensuivrait B* — 4AC=0, ce qui est contraire à l’hypothèse que nous discutons. L’équation précédente est du premier degré par rapport à y, et l’on en tire : '
— — Ex — F
y~ Bar + D
Effectuons la division du numérateur par le dénominateur et désignons , pour abréger, le quotient par mx -f- n et le reste par r, il vient :
« = mx + «h ,
Soit X'X (flg. GO) la droite qui a pour équation y = mx -f- n ;
il est évident qu’on obtiendra les différents points du lieu de l’équation proposée , en ajoutant à chaque ordonnée de la droite X'X la longueur positive ou négative représentée r
par r, — > en d’autres termes , si l’on pose :
Bx + D
Bx + D’
Y sera l’ordonnée de la courbe comptée à partir de la droite X'X. Supposons, pour fixer les idées, que les quantités r, B et U soient positives; si l’on fait croître x de — t»
à — g, Y reste négatif et décroît de zéro à — en- la courbe
a donc un arc tel que GG' composé de deux branches infi-
t IG
s’approche indéfiniment de la droite X'X, c’est-à-dire , que la distance d’un point M de la branche de courbe dont il s'agit à la droite X'X décroît indéfiniment de manière à avoir zéro pour limite, lorsque le point M s’éloigne à l’infini. Toute droite, dont une branche de courbe infinie s’approche ainsi indéfiniment, est dite une asymptote de la courbe; X’X est donc une asymptote de notre hyperbole. La deuxième branche infinie de l’arc GG’ s’approche indéfiniment de la droite YT menée, parallèlement à l’axe Oy, par le point de
l’axe des x dont l'abscisse est — g; cette droite Y Y est donc
- une deuxième asymptote de l’hyperbole.
Si l’op continue à faire croître a; de — g à -j-cr>, Y de-
vient positif et décroît depuis -f-oo jusqu’à zéro; il s’ensuit que notre courbe a un second arc tel que HH' dont les droites XX' et YY' sont encore asymptotes.
Remarque I. Il importe de remarquer le cas de r=0. L’équation
y = mx n
Bx + D
que nous avons déduite de la proposée se réduit à y = mx -f- n ,
qui ne représente qu’une droite unique. Mais dans ce cas cette équation ne se déduit de la proposée que par la suppression d’un facteur dont il faut tenir compte. On a effectivement :
— (C®* -f Ex + F) = (B® + D) [mx + n),
par suite l’équation proposée peut s’écrire :
DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A DEUX VARIABLES. 117 . (B.r-|-D)(y — mx — n)=0,
et elle représente les deux droites
Bx + 1)=0, y — mx — n— 0.
Remarque II. On peut conclure de ce qui précède, que si l’équation du second degré manque du terme en yi ou en x', mais qu’elle contienne le rectangle xy, elle représente une hyperbole qui a une asymptote parallèle à Taxe des y ou à l’axe des x. Nous verrons bientôt que cette propriété d’avoir deux asymptotes a lieu indistinctement pour toutes les hyperboles. ■ .
Discussion de la parabole (B1 — 4AC =0).
102. Conservant les notations du n° 93, soit X'X (tîg. 61) le diamètre qui a pour équation
flg. 61.
on a,, dans ce cas,
Y==èi ^™+P-
118 GÉOMÉTKIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. Supposons d’abord n positif; si l’on fait croître a; de — co à — Y est imaginaire et il n’y a pas de points correspondants de la courbe ; mais , si l’on continue à faire croître x P
de — — à 4- co , la valeur de Y sera constamment réelle et 2w !
croîtra de zéro jusqu’à l’infini. La parabole, que nous discutons, est ainsi formée de deux branches infinies AG et AG', qui partent l’une et l’autre du point A, où le diamètre X'X coupe
ia droite qui a pour équation *= — La courbe est donc
illimitée du côté des abscisses positives; elle est limitée au contraire du côté des abscisses négatives.
La figure (if suppose que p est positif, la courbe coupe alors l’axe des y en deux points D et I)' pour lesquels on a :
Si p est nul, les deux points D et D' se confondent avec le point A (fig. 02) et la courbe est tout entière située du même
lig 6J.
côté de l’axe des y que les abscisses positives. Si p est néga-
tif , la courbe n’a aucun point commun avec l’axe des y , comme on le voit dans la figure 03.
Ug. 63.
* Lorsque » est négatif, la courbe est limitée du côté des abscisses positives et illimitée du côté des abscisses négatives. Ici , comme dans le cas de n positif, il y a lieu de distinguer les trois hypothèses de p > 0, p —0, p < 0 ; les trois positions correspondantes de la courbe sont indiquées dans la figure 04.
flg. 64.
Enfin lorsque n est nul, on a :
Y = k'p et y=
l’équation proposée représente alors deux droites parallèles au diamètre X'X. Ces deux droites sont distinctes si p est positif ; elles se confondent l’une et l’autre avec le diamètre luimême, si p est nul; enfin elles cessent d’exister et deviennent imaginaires si p est négatif.
Remarque l. Pour que l’équation proposée représente effectivement une parabole, il faut et il suffit que l’on ait:
