B’ — 4AC = 0 BD — 2AE

Si la seconde condition n’est pas remplie, l’équation proposée représente deux droites parallèles qui peuvent se réduire à une seule ou même devenir imaginaires. Ce système de deux droites parallèles est une variété de la parabole.

Remarque II. La condition B* — 4AC = 0, relative au cas de la parabole, exprime que le trinôme Ay* + Bxy -f- Cx* est un carré.

105. Examinons maintenant le cas de A = 0 qui échappe à la discussion précédente. À cause de B’ — 4AC = 0, il faut que l’on ait B = 0; l’équation proposée devient alors : "

Gx* -f Dy -f Ex -f F = 0.

Si D n’est pas nul , on en tire :

Noüs supposerons, pour fixer les idées, que — - soit positif, et nous distinguerons trois cas suivant que les racines du . E F

trinôme x* -j- - x + - sont réelles et inégales , égales ou u L

imaginaires.

1° Les racines du trinôme dont il s’agit étant réelles, désignons par x la plus petite et par x" la plus grande, il vient :

On voit que si x croit de. — ce. à x', y décroît de -}-c» à zéro; si l’on fait croître x de x' à x", y part de zéro pour revenir à zéro et il est négatif dans l’intervalle. On peut écrire :

y=ij(!E — x>) (*"—*), .

et l’on voit que la somme des facteurs variables x — x', x" — x est constante et égale à x" — x'; il suit de là que , x variant de x' à x", la valeur absolue de y ira d’abord en croissant jus-

qu’à un certain maximum qui aura lieu pour x :

elle décroîtra ensuite jusqu’à zéro. Enfin si l’on continue de faire croître x de x" à -J- ce , y redevient positif et croit luimême jusqu’à l’infini. On obtient ainsi une courbe ayant deux branches infinies, et coupant l’axe des x en deux points (fig. 65), dont les abscisses sont x' et x".

2* Si les racines du trinôme x* -j-^x-f sont égales, en

vx C*

désignant par x1 leur valeur , il vient :

on trouve, comme dans le càs précédent, que la courbe a deux branches infinies, la seule différence consiste en ce que les deux points où la courbe coupe l’axe des x sont réunis en un seul; ce cas est indiqué sur la figure 65.

3° Si le trinôme ,r* + -x+- a ses racines imaginaires,

la valeur de y a la forme

On voit que si x croît de — œ à a, y décroît de +<*> à

jj ®*> et que si x continue de croître de a à -fc », y

croît lui-méme de — — 6* à + oq. La courbe ( fig. 65 ) a

encore deux branches infinies, mais elle ne rencontre pas l’axe des x. ' -

rj ' Nous avons supposé,

dans cette discussion ,

que — - est positif. Il n’y

aurait qu’une modification légère à faire pour

le cas de — g négatif ;

nous n’insisterons pas davantage. ' Remarque. Si D est nul,

- - «g. 65. • l’équation ne renferme

plus la variable y ; elle représente alors deux parallèles à l’axo des y, ainsi que nous en avons déjà fait la remarque.

Exemple» de discussion de courbes du second degré.

104. Nous croyons devoir présenter ici quelques exemples de discussion d’équations numériques.

DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A DEUX VARIABLES. 123 Exemple ï. Soit l’équation

\yJ — 12xi/ + 17x* + 8ÿ 28x— 20 =0

B’ — 4AC = — 128; le lieu appartient donc au genre Ellipse. On tire, de l’équation proposée,

les racines du trinôme x’— 2x — 3 sont — 1 et -f 3 , l’équation représente donc une ellipse réelle qui a pour diamètre la droite

et qui coupe ce diamètre aux points dont les abscisses sont

— 1 et + 3 (fig. 66).

mètre ; en faisant i/=0 dans son équation, on

trouve x — - ; et , en

faisant x=0, on trouve y= — 1. Si, donc, on

prend 01= et 0F=1 ,

la droite IF sera le diamètre demandé. Prenons OP = 1 , OP' = 3, et menons PB, P’B' parallèles à l’axe oy;

les points B et B', où ces parallèles rencontrent le diamètre, appartiennent à la courbe. L’ordonnée comptée à partir da diamètre est ici

Y=^8.;* + 4)(3— as);

si l’on fait croître a: de — t à

ou 4, Y croîtra de-

puis zéro jusqu’à sa valeur maximum qui est 2 y'S. Prenons OK= 1 ; menons , par le point K , EE’ parallèle à l’axe des y et prenons sur cette parallèle, à partir du point où elle coupe le diamètre, les longueurs CE, CE' égales à 2 y 2; la courbe, dont nous nous occupons, aura un premier arc tel que EBE' qu’on obtiendra avec une exactitude aussi grande que l’on voudra, en construisant un nombre de points suffisamment grand. Si l’on fait croître x de i à -f 3, Y décroîtra de 2 y 2 à zéro , ce qui donne le second arc de courbe EB'E'. La courbe est comprise dans le parallélogramme VURQ. Pour avoir les points où elle coupe les axes , il suffit de faire y = 0 , puis x^O dans son équation. On obtient ainsi :

ilx' — 28x— 20 = 0,

qui a pour racines les abscisses des points où la courbe coupe l’axe des x ; et

qui a pour racines les ordonnées des points où la courbe coupe l’axe des y.

Exsmple IL Soitit’équation

iy‘ — ixy-\- 2x' -j-8y — br + 5 = 0;

DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A DEUX VARIABLES, m

on a ici B* — 4AC= — 16, et on tire, de l’équation proposée,

les deux racines du trinôme as* — 2a; sont égales à 1; l’équation proposée ne représente donc que le point dont les coordonnées sont

Exemple III. Soit l’équation

y* — ixy -f- îfcr* — 2y -f- \x -j- 2 = 0 , on a B! — 4AC= — K, et on tire :

les racines du polynôme at* — (— -4 sont imaginaires ; par conséquent l’équation proposée représente une ellipse imaginaire.

Exbmplk IV. Soit l’équation

y' — Vxy — x*-\-x=0,

on a ici B’— 4AC=+8; le lieu appartient donc au genre Hyperbole. On tire de l’équation

les racines du polynôme îr'—x sont 0 et i ; l’équation re-

présente donc effectivement une hyperbole qui coupe le diamètre

aux points dont les abscisses sont 0 et -. Le diamètre en

question se construit aisément, il est la bissectrice de l’angle

yOx (11g. 67) ; prenons OA et menons , par le point A, la

fl*, eï.

droite AB parallèle à Oy. Si l’on fait croître x de - à + co ,

Y croît de zéro à -(- oo et la courbe a une branche infinie correspondante EBE'.

Si maintenant on fait décroître x de 0 à — oo, Y croît de zéro à et la courbe a une deuxième branche infinie

correspondante, telle que DOD'.

Il est presque superflu de dire que Y est imaginaire pour

les valeurs de x comprises entre 0 et

DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A DEUX VARIABLES. 127 Exemple V. Soit l’équation

y* — ixy — 5** — 2y 4*46.r — 3 = 0.

On a B1 — 4 AC =+36; en outre on tire, de l’équation proposée,

y-=2x-\-idb y9x’ — 12r-f 4 = 2a? -j- i ± (3x — 2).

Les racines du trinôme 9#’ — 12jr-f 4 sont toutes deux égales

à -, et l’équation proposée représente deux droites qui se «J

coupent en un point situé sur le diamètre

et dont les coordonnées sont #=-, 1/ = -. Les équations

de ces deux droites sont

y = Sx — y——x + 3.

Exemple VI. Soit Téquation

y* — Gxy-\-Sx%-\-iy — 12x-{*3 = 0.

On a Bs — 4AC = -)- 4 ; l’équation proposée donne :

Les racines du polynôme x* +1 sont imaginaires et l’équation proposée représente une hyperbole qui ne rencontre pas le diamètre

soit X'X ce diamètre (fig. 68) ; l’ordonnée Y a, ici, pour valeur,

Si l’on fait croître x de — en à 0, Y décroît depuis en jusqu’à 1 ; on obtient ainsi deux branches infinies telles que G'I

et H 'K. Si l’on continue à faire croître x de zéro à en, Y croît depuis t jusqu’à l’infini et l’on obtient deux autres branches infinies telles que IG et KH.

Le centre de la courbe est le point D où le diamètre rencontre l’axe des y.

Exemple VII. Soit l’équation

xy — x' — y — 1=0

Cette équation, ne renfermant pas de terme en y * et contenant le rectangle xy, représente une hyperbole. On en tire :

’/ = — rr = 3- + t + x — i

Soit XX. (fig. 69) la droite qui a pour équation :

et qui, comme nous l’avons vu (n° 101), est une asymptote

Si l’on fait croître a: de — c» à 1, Y est constamment négatif et décroît de zéro à — c»; on a ainsi un arc de courbe correspondant tel que G'G, composé de deux branches infinies qui ont pour asymptotes l’une X'X, l’autre la droite Y'Y menée parallèlement à l’axe des y, par le peint de l’axe des x dont l’abscisse est ,1. En continuant à faire croître x de 1 à 4-°°> Y devient positif et décroît de co à zéro; on trouve ainsi

un second arc tel que H II qui a les mêmes asymptotes que le premier. .

Exemple VIII. Soit l’équation

y * — 2xt/ + ;rl+a;=0.

On a ici B* — 4AC = 0; le lieu appartient donc au genre Parabole', on en tire;

Le diamètre ,

est la bissectrice X'X (fig. 70), de l’angle yOx et l’ordon née Y , comptée à partir de ce diamètre , a pour valeur :

Si l’on fait croître a: de — oo à zéro, la valeur de Y décroît

de oc. à zéro; on obtieqt ainsi la courbe G'OG , qui est située toute entière du même côté de l’axe des y que les abscisses négatives. Effectivement l’ordonnée Y est imaginaire pour les valeurs positives de x. \ '

y* — Zxy + x* -(- 4y — 4x -f \ — 0.

DES ÉQÜATtONS DU SECOND DEGRÉ A DEUX VARIABLES. 121 Ou a B’ — 4AG = .0 , et l’équation donne : y — X — 2±vÆ>

ce qui montre qu’elle représente deux droites, parallèles au diamètre y — x — 2 et équidistantes de.ce diamètre.

Exemple X. Soit l’équation :

On a B* — 4AC=s:0 et l’équation proposée donne:

ou

On voit que la courbe rencontre l’axe des x aux points B

et C (fig. 71), qui ont pour abscisses 4 et 4.

Si l’on fait croître x de — c» à 4 , y décroît de -j- co. à zéro;, on a ainsi l’arc D‘EB.

Si x croît de 1 à 4, y devient négatif; il décroît d'abord depuis

zéro jusqu’à son minimum — - , minimum qui correspond à

ar= — ; fi croît ensuite depuis ce minimum jusqu’à zéro; on

obtient ainsi un arc tel que BKC ; enfin si l’on continue à faire croître x de 4 à + co , y croît de zéro à -f- co, et en obtient Tare indéfini CO.

iîî GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. ,