AA + B

Si B* — 4AC est négatif, les deux valeurs de k sont imaginaires et la courbe n’a point d’asymptote réelle ; cela est évident à priori, puisque l'ellipse n’a aucune branche infinie.

Si B* — 4 AG est positif, les deux valeurs de k sont réelles et inégales; par suite la valeur de Lest finie, puisque 2AA-j-B ne saurait être nul. Il s’ensuit que l’hyperbple a deux asymptotes ,• et ces deux asymptotes passent par le centre de la courbe, ainsi que nous en avons fait la remarque au numéro précédent.

Enfin , si B* — 4AC est nul , les deux valeurs de k sont

DES TANGENTES ET DES ASYMPTOTES. 15b

réelles et égales , leur valeur commune est — — - et l’on voit

que la valeur de l est infinie. Il s’ensuit que dans la parabole, les asymptotes sont parallèles et situées à l’infini, ou, pour mieux dire , la parabole n’a point d’asymptotes. A la

vérjté, la valeur de l se présente sous la forme jj, si l'on a | H

r- = — r ou 2 AJ’] — BL) = 0; mais alors l’équation proposée

U xA r

représente deux droites parallèles , ce qui constitue , comme on l’a vu , une variété de la parabole. Dans ce cas notre méthode générale nous fait retrouver ces deux droites. Effectivement , la valeur de l doit être ici déterminée par l’équation du second degré ,

Al«-j-Di-|-F=0,

d’où l’on tire :

, — D±v/D’ — AAF

Ainsi les deux asymptotes sont données par l’équation

— Rr — I) , ■f

» = — Ü— ±!ÂV‘>,-iAF..

qui n’est autre que l’équation proposée résolue par rapport

Remarque. La théorie précédente conduit à une règle trèssimple pour former immédiatement les équations des asymptotes d’une hyperbole, dont on a l’équation en coordonnées rectilignes. Effectivement les asymptotes ne dépendent aucu-

nement du dernier terme F ; d’où il suit que ces asymptotes ne changeront pas si l’on altère ce coefficient. Or, en altérant d’une manière convenable la valeur de F, l’équation , qui représentait l’hyperbole proposée, représentera actuellement le système de deux droites , et ces droites seront précisément les asymptotes demandées. De là on peut conclure que :

Pour avoir les asymptotes d’une hyperbole, dont l’équation renferme un terme en y’, il faut résoudre l’équation par rapport à y, extraire la racine carrée du trinôme placé sous le radical , sans avoir égard au reste de l’opération, et remplacer le radical par la racine trouvée.

424. 11 nous reste à examiner lp cas où l’une des asymptotes de l’hyperbole est parallèle à l’axe des y. L’équation de la courbe ne peut contenir de terme en y', car autrement y ne serait infini pour aucune valeur finie de x ; soit donc

Bxy + Ca;* Dy -}- Ex + F = 0 ,

l’équation de la courbe proposée. On en tire :

Gr»+EÆ + F V~ Ba-fD '

y étant infini pour Bæ+D=0, il s’ensuit que l’une des asymptotes a pour équation :

Bx + D = 0;

quant à l’autre asymptote, on l’obtiendra par la méthode générale qui donne :

, C Dfc + E CD— BE

DIS TANGENTES ET DES ASYMPTOTES

l’équation de cette seconde asymptote sera donc

nti

— C.r , CD — BE y = -5— +

EXERCICES

Questions à résoudre.

I. Étant donnée une courbe du second degré, on mène, par un point A de cette courbe , une corde quelconque AB et une deuxième corde AC perpendiculaire à AB: enfin on joint BC qui coupe au point N la normale en A à la courbe. Cela posé, on demande de démontrer que le point N reste invariable, quand la sécante AB tourne autour du point A.

II. Les mêmes choses étant posées que dans la question précédente, on demande de trouver le lieu décrit par le point N quand le point A se meut sur la courbe donnée.

III. Soient A = 0, B=0, C=0, les équations des côtés BC , AC et AB d’un triangle ABC ; o, b, e des quantités constantes : on demande de démontrer les propositions suivantes:

1° Toute courbe du second degré, circonscrite au triangle ABC , a une équation de la forme :

2° Les tangentes en A, B, C à cette courbe , tangentes qu forment un triangle circonscrit , ont pour équations :

3° Les points de concours des côtés du triangle inscrit, avec

■ ; - JP-

leurs opposés dans le triangle circonscrit, appartiennent tous trois à une môme droite qui a pour équation :

4° Les droites, qui joignent les sommets du triangle inscrit aux sommets opposés du triangle circonscrit, se coüpent toutes trois en un môme point donné par les équations :

ABC — == r = -• ' abc

IV. L’asymptote d’une branche infinie de courbe peut être considérée comme la limite d’une tangente dont le point de contact avec la courbe s’éloigne à l'infini. Démontrer , en se plaçant à ce point de vue, les formules trouvées au n* 121 ,

savoir : i=lim-, J=lim(y — fc»),

V. Lorsque l’équation du second degré représente une hyperbole, on peut faire disparaître les termes en x *, en y*, en x et en y. Déduire de là : 1" une méthode pour trouver les asymptotes de l’hyperbole; 2“ l’équation de l’hyperbole rapportée à ses asymptotes.

VI. Démontrer que toute hyperbole, ayant pour asymptotes les droites y=±ax-\-b et y =; ex -j-d, a pour équation

(y — ax—b) (y —ex — d) -f m = 0,

m désignant une constante.

, l)K L’ELUPSK. J8?