ÉQUATION DK L’ELLIPSE RAPPORTEE A SON CENTRE ET A SES AXES. LES
CARRÉS DES ORDONNÉES PERPENDICULAIRES A l’un DES AXES SONT ENTRE EUX COMME LES PRODUITS DES SEGMENTS CORRESPONDANTS FORMÉS SUR CET AXE.
125. Nous avons vu (n0 113) que l’équation du second degré peut être ramenée, dans le cas de l’ellipse, à la forme
My*+Nx*==H, •. .. , .
où a; et y désignent des coordonnées rectangulaires. La quantité — 4MN étant ici négative, on voit que M et N sont de mêmes signes ; de plus, on peut les supposer positifs, puisqu’on les rendrait tels, dans le cas contraire, en changeant les signes de tous les termes de l’équation. Les coefficients M et N étant positifs , il faut et il suffit que H soit positif, pour que la pré* cédepte équation représente effectivement une ellipse; en effet il est clair que, si H ?= 0 , l’équation ne peut représenter que l’origine des coordonnées, et que, si H est négatif, elle représente une ellipse imaginaire. Nous avons déjà eu l’occasion de mentionner ces variétés de l’ellipse, et nous ne nous y arrêterons pas davantage.
Supposons dope M,N et H positifs; pour avoir les points qu la courbp qnupe l’axe des x, il faut faire y=0, et il
eht*=±y/ïï.
On obtiendra de même les points oii
la courbe coupe l’axe des y, en faisant x=0 dans son équation; il vient alors t/=±y/^j. Nous désignerons par a
et par b les quantités et , en sorte que l’on aura
En remplaçant M et N par ces valeurs et divisant ensuite par H, l’équation de l’ellipse devient :
ou
C’est sous l’une ou l’autre de ces deux formes que nous la
considérerons désormais. On en tire :
(3) y—— — ya1 — x\
La valeur de y n’est réelle que si la valeur de x reste com-
. . prise entre — a et -fa/
• * lorsque x croît de zéro à a
• ‘ ou décroît de zéro à — a,
' jr- ' ’ ’’ / \ la valeur absolue de y dé-
f \ croît de 6 à zéro. Si donc
rrt o rji * , „ .
V j on prend sur 1 axe des x
~ (%. 76) OA = OA' = a et,
• »' sur l’axe des y, OB= OB'
y on voit que l’ellipse
' . ' - og. w. sera formée de quatre arcs
DE L’ELLIPSE. 165
AB, BA', A'B' et B'A égaux entre eux, comme l'indique la figure.
De ce que l’équation (1) ou (2) n’est altérée ni par le changement de a: en — x, ni par celui de y en — y, il résulte que l’origine est le centre et que les axes des coordonnées sont les axes mêmes de la courbe. Cela résulte, au surplus, des considérations que nous avons développées dans le chapitre IV. L’équation (1) ou (2) représente donc une ellipse rapportée à son centre et à ses axes. Les lignes A'A = 2a et BB'=26 sont dites les longueurs des axes ou même simplement les axes. Les points A, A', B, B' sont (n° 110) les sommets de la courbe.
L’ellipse est concave vers chacun de ses axes , comme l’indique la figure 76 : cela résulte de ce que cette courbe ne peut être coupée par une droite qu’en deux points.
