De l’équation (3) on tire

(a -}- ar) ( a — >x) a* *

or, pour un point M quelconque de l’ellipse, on a (fig. 76) : y=MP, a+a:=A'P, a — x=AP ; on a donc :

ATxAP a’ 1

d’où il résulte que : le rapport du carré d'une ordonnée, perpendiculaire à l’un des axes, au produit des segments correspondants, formés sur cet axe, est une quantité constante. En d’autres termes: les carrés des ordonnées perpendiculaires à l’un des axes sont entre eux comme les produits des segments correspondants formés sur cet axe.

On voit que cet énoncé n’est autre chose que la traduction géométrique de l’équation de l’ellipse.

127. Supposons a> 6, auquel cas la est le grand axe et 26 le petit axe de l’ellipse; désignons aussi par r la distancé OM ( fig. 78), du centre au point M dont a* et y sont les Coordonnées ; on aura r* = x' 4- y * et , par suite ,

d’où

Cela montre que la distance au centre d'un point, mobile sur l’ellipse, va constamment en décroissant, quand ce point part de l’un des sommets situés sur le grand axe pour se diriger vers le petit axe.

Remarque. Si 6=o, l’expression de r se réduit à

d’où il suit que tous les points de l’ellipse sont également . distants du contre ; cette courbe se réduit alors à une cir- ' conférenoe. Le cercle peut donc être considéré connue une ellipse dont les deux axes sont égaux.

128. Il est bon de remarquer que, pour tout point extérieur à l’ellipse

. - . oV + 6V — 0*6* = 0, ;

on ai > x -»

ay -J- 6’x* — os6s > 0 ,

et, pour tout point intérieur, ,

ay + 'Ar1 — a’6* <6.

DË L’ELLIPSE. 167

Considérons d’abord le cas d’un point M extérieur. Si les valeurs absolues de ses coordonnées sont supérieures à a et 6 respectivement, le théorème est évident. Si cela n’a pas lieu , il existera un point M' de la courbe ayant même ordonnée que le point M et une abscisse moindre en valeur absolue, ou même abscisse et une ordonnée moindre en valeur absolue; or, pour ce point M’, a2 y 5 -|- 6!x2 — o*6s est nul, donc cette quantité est positive pour le point M. Un raisonnement semblable prouve la deuxième partie du théorème énoncé.

LES ORDONNEES PERPENDICULAIRES AU GRAND AXE SONT AUX OR- DONNÉES CORRESPONDANTES DU CERCLE DECRIT SCR CET AXE, COMME DIAMÈTRE, DANS LE RAPPORT CONSTANT DU PETIT AXE AU GRAND. — CONSTRUCTION DE LA COURBE PAR POINTS , AU MOYEN DE CETTE PROPRIÉTÉ.