AU MOYEN DE CETTE PROPRIETE
132. On nomme généralement foyer d’une courbe du second degré , un point dont la distance k chaque point de la courbe est une fonction linéaire des coordonnées rectilignes de ce dernier point. Cette définition est purement analytique, mais la propriété qu’elle exprime est entièrement indépendante" des axes auxquels la courbe est rapportée. Effectivement , quand on passe d’un système de coordonnées rectilignes à un autre, les coordonnées du premier système s’expriment au moyen des coordonnées du second par des fonctions linéaires ; donc une fonction linéaire des coordonnées du premier système s'exprimera toujours par une fonction linéaire des coordonnées relatives au second. On peut donc., dans la recherche des foyers des courbes du second degré , rapporter ces courbes aux axes qu’on jugera les plus convenables. "* ■
Soit une ellipse
(1) oy+6Vr**W,
rapportée à son centre et à ses axes , et proposons-nous de trouver les foyers qu’elle peut avoir. Soient a, 6 les coordonnées d’un foyer et 8 la distance de ce foyer à un point quelconque M(æ, y) de la courbe ; on aura :
Mais, par hypothèse, cette distance 8 peut s’exprimer par
une fonction linéaire lx-\-my-\-n des coordonnées a: et y; on a donc :
V (ar— “)’ + (y—1 s)‘ = te + my + n , ou
(3) (x— «)*+ (y — 6)J— (te + my-|-n),=0.
Cette équation (3), exprimant une relation constante entre les coordonnées de chaque point de l’ellipse , n’est autre chose chose que l’équation môme de cette courbe; elle doit, par suite, être identique à l’équation (1). Mais l'équation (1) ne renferme pas le rectangle xy, tandis que dans l'équation (3), ce rectangle existe avec le coefficient — 2/m; il faut donc que. l’on ait /m=0, c’est-à-dire, / = 0 ou m = 0.
Supposons m=0; alors 8 sera une fonction linéaire tie x seule. L’équation (2) donne ;
8' = x' — 2aa! +' >* + y» — 2% + 6* ;
en remplaçant y par sa valeur tirée de (1), savoir ; *
il vient : ...
«* = *•— 2«s + a*-f£(a*-tf*)— 2«î ^8t '*» + 6».
Puisque 8 doit être rationnelle, il faut à fortiori que 8* le soit; ce qui exige que l’on ait 6 = 0, c’est-à-dire que les foyers soient situés sur l’axe des a; L’expression de 8l devient alors : .
. 8* = X s — 2ax 4- as -|- à? ;
DE I.’ELUPStf.
pour que le second membre soit un carré parfait , il faut et il suffît que l’on ait :
d’où l’on tire :
a* = a* — 6* et a = ± y/ a* — 6*.
La valeur de a n’est réelle que si a est plus grand que b , et, dans cette hypothèse, nous obtenons deux foyers situés sur le grand axe à une distance du centre égale à — b*.
En supposant Z=0 on trouverait, par un calcul identique au précédent :
et
6 = ±y/6,-aî;
cette valeur de 6 n’est réelle que dans le cas de 6 > a et on est ici conduit, comme dans la première hypothèse, à constater l’existence de deux foyers situés sur le grand axe ; ce sont les seuls que l’ellipse puisse avoir dans son plan. Supposons a>b; si l’on décrit (flg. 81) une circonfé-
rence de rayon a et dont le centre soit l’une des extrémités du petit axe, cette circonférence cou- pera lé grand a?c en deu.x points F et F qui seront les foyers de l’ellipse. En posant c — y/a* -r- b* , la quantité 2c sera la distance flg. «i. ' ‘Ses foyers, ou, comme l’on
dit aussi, la distance focale, le rapport - de la distance focale
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au grand axe est dit V excentricité de l’éllipse (voir ri» 9).
