Remplaçant successivement a par -}-c et par c
dans l’expression de o!, on aura :
FM
c x a | . / ex\ *
= ■? 2ex + a*=(aw__j ,
4 c’x‘ / cx\*
=lT + ?“ + 0 = («+-) •
Les distances FM et F'M, qu’on nomme rayons vecteurs, sont des quantités positives ; d’ailleurs x ne peut pas surpasser a, et c est toujours moindre que a; donc on a :
FM = a — — a
'■ FM=o + ~, . '
En faisant la somme, ôn trouve : ' • .
; FM + F'M = 2a. *
Ce qui montre que (n° 1} la somme des rayons vecteurs, menés des foyers à un point quelconque de l'ellipse, est constante et égale au grand axe.
Il est bon de remarquer que l’ellipse sépare les points du plan dont la somme des rayons vecteurs est supérieure au grand axe, de ceux pour lesquels cette somme .v jA est inférieure au grand axe; en
d’autres termes, si F et F' sont les foyers d’une ellipse dont le grand fig. ta. axe est 2 a (fig. 82), on a, pour- tout
point P extérieur, FP -f F'P > 2a ; et, pour tout point P' intérieur à la courbe, FP*4- F'P’ < 2a. -
En effet, dans le premier cas, si l’on, joint le point F au
' .DE L’ELLIPSE» . . m
point M où PT rencontre la courbe, le triangle FMP donnera : ' FP + PM > FM.
Ajoutant F'M de part et d’autre, puis observant que FM -(-FM = 2a, il viendra: -
FP -f- F'P > 2 a.
Dans le second cas , si l’on prolonge F'P' jusqu’à sa rencontre avec la courbe et que l’on joigne FM , le triangle FP'M donnera :
