FP' < FM -(- P M
ajoutant F'P' de part et d’autre, on aura:
FP' 4- F'P' < 2a.
134. La propriété démontrée au n° 133 fournit un moyen très-simple de construire par points une ellipse dont on connaît le grand axe et les foyers.
Soient en effet F et F' les foyers et 2a la longueur donnée du grand axe. Joignons F'F (fig. 83) et prenons, à partir du milieu 0 de cette droite, 0A=OA' — a ; les points A et A' seront les sommets de l’ellipse. En oqtre , comme la somme des distances d’un même point de la courbe aux deux foyers est égale à A'A, on voit que si ... ' l’une de ces distances est AG , l’autre
Iiff. os.
sera À'C. Si donc on prend un point G quelconque sur A'A, entre F et F, puis que l’on décrive, des foyers F et F' comme centres, deux circonférences qui aient respectivement AC et A'C pour rayons, les points d’intersection M et M' appartiendront à l’ellipse. Les deux circonférences dont nous parlons se cou-
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përont toujours, car il est évident que la distance des centres F'F est moindre que la somme A' A des rayons et plus grande que la différence A'C — AG ou 20C de ces mômes rayons. En donnant au point C diverses positions Sur F F, on pourra construire, comme il vient d’être indiqué, autant de points qu’on voudra de l’ellipse. Quand on connaîtra ainsi des points assez nombreux et assez rapprochés les uns des autres, on les joindra par un trait continu et l’ellipse sera tracée par points. ' •
La môme propriété permet de tracer l’ellipse par un mouvement continu. Si en effet,, après avoir marqué les foyers F et F!, on prend un til dont la longueur soit exactement égale à 2a , que l’on fixe aux foyers les extrémités de ce fil et qu’on le tende par lé moyèn d’un style muni d’un crayon ou d’un tire-ligne; en faisant mouvoir le style, de manière que le fil soit toujours tendu , l'ellipse se trouvera décrite par le crayon ou le tire-ligne. * • .
DIRECTRICES. LES DISTANCES DE CHAQUE POINT DE L’ELLIPSE A l’uN
DES FOYERS ET A LA DIRECTRICE VOISINE DE CE FOYER SONT ENTRE ELLES COMME LA DISTANCE DES FOYERS EST AD GRAND .AXE.
.155. Soit M(x, y) un point de l’ellipse a’ÿ* -f- b^x* = a'b* ,
Rapportée à son centre et à ses axes; supposons a>b, et soient F et F' les deux foyers (fig. 84) , on a (n° 133) :
FM = a — — , F'M = a-f-— .
Soient GH et G'H’ les droites qui ont potrr équations.:
DE L’ÇLLIPSE.
ex ■ < , ex
par suite, on a:
FM
UP.-a
• Les droites GH et GH' sont dites les directrices de l’ellipse; ces directrices, parallèles à l’axe des y, sont à une distance du
J" fl* *
centre égale à — , el l’on voit que : le rapport des distances
d’un point de la courbe au foyer et à la directrice voisine ou correspondante est constant et égal à l’excentricité.
Équation de la tangente et de la normale en un point de
l’ellipse. — LE POINT, OU LA TANGENTE RENCONTRE UN DES AXES
PROLONGÉS, EST INDÉPENDANT DE LA GRANDEUR DE l’aUTRE AXE.
CONSTRUCTION DB LA TANGENTE EN UN POINT DE.L’ELUPSE AU MOTEN . DE CETTE PROPRIÉTÉ.
