Soit

ay + b'x'— a'b' = 0,

l’équation d’une ellipse. Les dérivées du premier membre par rapport à x et par rapport à y sont ih'x et 2a’t/ ; il s’ensuit (n° 120) que le coefficient angulaire de la tangente au 26*x' b*x'

point [x', y') est — ou - — — , et que celui de la normale 2a’u ’i bV n

est ; d’après cela l’équation de la tangente sera : y — y =c — —,(xr-x')

a aty'\ - ‘ ,

et celle de la normale :

La valeur absolue du coefficient angulaire — ^^7 croit

de zéro à l’infini, quand le point [x', y') situé d’abord sur l’axe des y, s‘en éloigne pour venir se placer sur l’axe des x. On en conclut que la tangente, en un quelconque des quatre sommets, est perpendiculaire à l’axe qui passe par ce soirimet: - L’équation de la tangente peut s’écrire : ‘ .

a'y'y -(- b'x’x = «y* -j- b!x’’ ; ou , à cause de ay* + è’x'1 = a’fc’ ,

' DE L’ELUPSE. 179

a'yfy + b,x'x = a* b*.

Sll’on y fait successivement y = 0, puis <r=0, il vient :

xx = a’

d’où I=ï>

puis

ÿty=b*, d’où

■,mT

— est l’abscisse du point où la tangente coupe l’axe des

sç.

.ÿ, cette abscisse ne dépend pas de la grandeur de b-, de

même l’ordonnée —, du point où la tangente coupe l'axe

des y, ne dépend pas de la grandeur de o. Il résulte de là que, si l’on considère me série $ ellipses ayant un axe commun, que l’on mène une perpendiculaire à cet axe et que, par les points où cette perpendiculaire coupe chaque ellipse, on mène des tangentes à cette ellipse ; toutes ces tangentes iront concourir en un même point du prolongement de l’axe commun. 157, Le théreomè que nous venons d’établir donne un

moyen très-simple de construire la tangente à l’çllipse,en unpointdonné de cette courbe. Soient M le

AA' l’un. des axes dé l’ellipse ; décrivons un cercle sur AA' comme diamètre, abaissons . MP perpendiculaire sur AA' et , par le' point îlj.où cette perpendiculaire coupe le cercle, menons à ce cerde la tangente NT; joignons enfin le point M au

flg. ss.

point T, qù NT coupe AA' ; la ligne NT sera la tangente demandée. Cela résulte évidemment de ce , que le cercle, que nous employons, peut être regardé comme une ellipse ayant, avec la proposée, un axe commun.

Remarque. Le même théorème donne un moyen de mener à l’ellipse une tangente par un point extérieur; mais comme nous indiquerons, dans ce qui va suivre, des méthodes plus simples pour cet objet, nous nous bornerons à cette indication.

LES RAYONS VECTEURS, MENES DES FOYERS A UN POINT DE l’ ELLIPSE, FONT AVEC LA TANGENTE EN CE POINT, ET d’üN MÊME CÔTÉ DE