CETTE LIGNE , DES ANGLES ÉGAUX. LA NORMALE DIVISE EN DEUX

PARTIES ÉGALES l’aNGLE DES RAYONS VECTEURS. CETTE PROPRIÉTÉ PEUT SERVIR A MENER UNE TANGENTE A, L’ELLIPSE PAR UN POINT PRIS SUR LA COURBE OU PAR UN POINT EXTERIEUR. . • '

l’équation d’une ellipse rapportée à son centre et à ses axes, # et supposons a> b; soit

‘ . s MT (tig. 86) une tangente

' « qui rencontre le grand axe

T au point T. Si l’on fait

/ N — c=Ja * — 6*, le rayon vec-

\ J teur MF aura pour équa-

deT- tion :

les coordonnées du point T sont y = 0 et x

la distance

DE L'ELLIPSE

de ce point au rayon MF sera donc

ay

ex

ou simplement ~ , puisque l’on a a— — =v,ÿ'î+(a:>— c)*-

L’équation du rayon vecteur MF se déduit de celle de MF en changeant c en — c, d’où il suit que la distance du point

T à MF' a aussi pour valeur^-. On voit par là que le point T

est également distant des deux rayons vecteurs; il est clair qu’il n?est pas dans l’angle de ces rayons ; donc il appartient à la bissectrice de l’angle que forme l’un d’eux avec le prolongement de l’autre; donc la tangente MT. n’est autre chose que cette bissectrice. En d’autres termes, la tangente fait des angles égaux avec les rayons vecteurs du point de contact ; et il en résulte que la normale divise en deux parties égales V angle de ces rayons vectéurs.

139. Le théorème, que nous venons d’étabjir, donne un moyen de mener une tangente à l’ellipse : par un point pris sur la courbe , ou par un point extérieur. »- Supposons d’abord qu’il s’agisse de mener la tangente x. en un point M d’une ellipse -c " (fig, 87). Tirons les rayons vecteurs

MF et MF'; prolongeons l’un d’eux, MF par exemple, d’une quantité ■j MG égale à l’autre , joignons GF' et abaissons du point M la perpendiculaire TMP sur F'G; cette perpendiüg. '87. eulaire sera la tangente demandée.

En effet, le triangle F'MG étant isocèle, la perpendiculaire, abaissée du sommet sur la base, partage l’angle F'MG en deux parties égales ; on a donc FMP = GMP. Mais les angles GM P

ex

et TMF sont égaux comme opposés par le sommet; donc F'MP=FMT, donc MT est tangente.

Remarque. Si l’on'joint le centre O, milieu de FF, au point P qui est le milieu de FG , la droite OP sera parallèle à FG et égale à la moitié de FG, c’est-à-dire à a. 11 résulte de là que la distance du centre de l’ellipse aux pieds des perpendiculaires, abaüsées d’un foyer sur les tangentes, est constante et égale au demi grand axe; ou, en d’autres termes r le lieu géométrique des pieds des perpendiculaires, abaissées des foyers d’une ellipse sur les tangentes, est la circonférence décrite sur le grand axe comme diamètre. ■ ■ '

140. Proposons-nous maintenant de mener une tangente à l’ellipse par un point T extérieur à la courbe (flg. 88). Supposons pour un moment le problème résolu ; soient TM la tangente demandée et M le point de contact. Tirons les rayons vecteurs MF, MF' et prolongeons l’un d’eux , MF par exemple, d’une

quantité MG égale à l’autre ; joignons ensuite FG, FT ét GT.

La tangente MT, divisant en deux parties égales Fanglo au sommet du triangle isocèle FMG , sera perpendiculaire à GF' et passera • <- par le milieu P de çette ligne;

Og. ». on aura, par suite, TG=.TF';

.d’ailleurs FG = la ; donc té point G peut être déterminé par l’intersection de deux circonférences, l’une. décrite du foyer F comme centre avec le rayon 2 a, l’autre décrite du point donné T comme centre avec le rayon TF'. Le point G étant connu , oa le joindra au foyer F' , et l’on abaissera du point T la perpendiculaire TP sur F'G; cette perpendlcu-» laire sera la tangente demandée , et le point M., où elle rencontre FG , sera le point de contact. • it .

DE L'ELLIPSE

lIS'.

En effet, oti a, par construction TG = TF', donc TP est perpendiculaire sur le milieu de F’G ; donc MF' = MG, et par conséquent MF -f- MF' = 2a , ce qui prouve déjà que le point M est sur l’ellipse. En second lieu l’angle F'MP=GMP = FMT; donc MT est tangente.

Nous avons vu que le point G est déterminé par l’intersection de deux circonférences ; or deux circonférences se rencontrent généralement en deux points, il y a donc deux solutions, et par le point donné T on peut mener deux tangentes à l’ellipse. Il est facile , en effet , de démontrer que les deux circonférences décrites des points F et T comme centres , avec des râyons égaux à 2a et à TF' respectivement» se rencontrent toujours en deux points, si, comme nous le supposons, le point T estextérieur à l’ellipse Joignons FT; le point T étant extérieur à l’ellipse , on a 2a < TF TF' ; d’ailleurs dans le triangle TFF' on a TF < FF' -j- TF' et, à fortiori, TF <2a + TF'. Cela prouve que nos deux circonférences se rencontrent toujours en deux points, car la distance des centres est moindre que la somme des rayons , èt le plus grand rayon est moindre que la somme du plus petit et de la distance des centres»

Si le point T était sur l’ellipse, on aurait 2a=xTF-f TF'; alors le plus grand rayon serait égal à l’autre augmenté de la distance des centres , et les deux circonférences se toucheraient intérieurement. Dans ce cas il n’y a plus qu’une seule tangente, et l’on retombe sur la construction donnée précédemment.

Si le point T était intérieur à l’ellipse, on aurait 2a > TF-j-TF' ; alors l’un des rayons serait plus grand que l’autre, augmenté de la distance des centres; les deux circonférences seraient intérieures l’une à l’autre, et il n’y aurait plus de tangente.

141. La propriété démontrée au n° 138 fournit encore un , moyen très-simple de mener à l’ellipse une tangente parallèle

à une droite donnée. Soient F et F’ les foyers de l’ellipse (ftg. 89) et CD la droite a laquelle la tangente doit être parallèle. Si le problème était résolu, que PT fût la tangente demandée et M le point de contact; en joignant FM et prenant sur cette direction ug. 89. ' FG=2a, la ligne F’G serait per-

pendiculaire sur TP-et par suite sur CD. Il résulte de là que le point G peut être déterminé par l’intersection de la perpendiculaire, abaissée de F' sur CD, avec la circonférence de rayon 2o et décrite du point F comme centre. Le point G étant connu , op mènera, par le milieu P de GF', la droite PT parallèle à CD; cette parallèle sera la tangente demandée et le point M, où elle rencontrera GF, sera le point de contact.

En effet, joignons MF'; la Jigne PT étant perpendiculaire sur le milieu de GF' par construction, on a GM=F'M; donc MF-f MF'=2a; ce qui prouve déjà que le point M ,est sur l’ellipse. En second lieu l’angle F'MP = GMP == FMT ; donc PT est tangente.

Le point G est déterminé par l'intersection d’une droite et d’up cercle , lesquels se coupent généralement en deux points. Il peut donc y avoir deux solutions; or je dis que les deux solutions ont lieu dans fous les cas , en effet le rayon du cercle 2« est plus grand que FF' et, à fortiori, plus grand que la . distance de son centre F à la droite F'G.

* Remarque. La construction de-la tangente, dans les trois cas que.nous venons d’examiner, ne suppose pas que la courbe soit tracée ; il suffit de' connaître les foyers et la longueur du

DE L'ELLIPSE. 185

grand axe. Quand on construit une ellipse par points, ii est convenable de mener les tangentes aux points qu'on a déterminés ; elles permettent d’obtenir un déssin plus exact.

* * . *.« : Ié,t: .***,, f *• * • *»

Équation de la tangente parallèle à une droite donnée . 142. Soient

l’équation d’une ellipse, et

y = mx, .

l’équation de la droite à laquelle la . tangente demandée doit être parallèle. Désignons par x' et y' les coordonnées inconniies du point de'contact; l’équation de la tangente sera :

a’y'y -|- h'-x'x — a’b5 ou y :

— bV , b!

et, pour déterminer les inconnues x' et y1, on a les deux équations :

. bV ;

on en tire :

«y’-f b\r'! = asb5; .

aV»

et y' — r

ihva’m’ + b5 =fcya'm*-|-6*

L’équation demandée est donc

yz=mx- j- y Vm’-f-b5.

En donnant successivement au radical le signe -f- et le signe — , on aura les équations des deux tangentes parallèles à la droite donnée.

Remarque. Si l’on considère la quantité m comme susceptible de recevoir toutes les valeurs possibles, lq précédente équation représentera toutes les tangentes à l’ellipse proposée. C’est sous cette forme qu’il convient de prendre les équations des tangentes-, dans les questions où les points de contact ne jouent aucun rôle.

143. Ou peut résoudre la même question par des considérations différentes, et que nous croyons devoir indiquer ici à cause de leur grande généralité. Soit, • . , *

y =. mx t\- n ) '

l’équation d’une sécante de l’ellipse. Si -l’on imagine, que cette sécante se meuve en restant parallèle à elle-même, et de manière que les deux points d’irtterséotion avec la courbe se rapprochent indéfiniment l’un de l’autre, il est évident qu'a la limite la sécante sera tangente; donc, pour que l’équation écrite plus haut représente une tangente, il faiit et il suffit qu’elle n’ait qu’urte seule solution commune aveè l'équation ,

ofy’+6*a^=a*6*, '

de la courbç; cela revient à dire que l’équation , résultant de l’élijnination de y entre les deux équations précédentes, savoir î

(a’ms ■+• 6*)xl -j- ‘ia'mnx -j- o*(n’ 6’) — 0,

doit avoir deux racines égales. En exprimant cette condition , il viènt: .• • '

o*(ns — b *) («’m’-f-è’) ■, •

d’oii l’on tire : '

ti == zfc -|- 6*.

On retrouve ainsi le résultat déjà obtenu.

DE L’ELUPSE.

Équation de la tangente menée par1 un point extérieur.