Soient

l'équation de l’ellipse donnée, et (x1, y1) le point dojùné, par lequel il s’agit de mener une tangente à la cdurbe. Si le point de contact (x") y") était connu , l’équation de la tangente demandée serait

.ÎHais cette tangente passant parle point donné (a:', y'), on doit avoir identiquement :

et bn a en outre : , • . . • . . '

. a*y"* + b,x",=sa*b*-,

. les deux précédentes équations détermineront x" et y", et le problème sera résolu. Nous n’achevons pas le calcul , parce que nous présenterons tout à l'heure le résultat d’une manière plus simple. Mais les équations, que nous venons d’écrire, vont nous conduire à une conséquence qu’il est important de remarquer. Puisqu’on a l’identité

a*y"y' + b*É"x' = a*bî ,,

il s’ensuit que le point de contact (x", y ") est situé sur la droite qui a pour équation : .

et, comme on peut mener, par le point (x', y'), deux tangentes à l’ellipse, la précédente équation représente la droite qui joint les points de contact de ces tangentes avec la courbe.

Le problème , de menef une tangente à l’ellipse par un point extérieur, se ramène évidemment à construire cette corde de contact qu’on peut obtenir très-simplement, comme on le verra dans la suite de cet ouvrage.

145. Désignons, comme précédemment, par (x', y1) lé points par lequel il faut mener une tangente à l’ellipse; l’équation de cette tangente sera

(1) y = mx + v '«*»»* Hh 6‘ ;

le coefficient angulaire inconnu m devra satisfaire à l’équation de condition • ' • ■ * .

(2) , y' = mx' -f- y a'mt + è* »

oii le radical doit être pris avec le même signe que dans l’équation ({), En éliminant ce radical par le moyen de l’équation (2)j Inéquation (1) peut s’écrire ;

* ■ ' 1 •* \ Af * " *.

En outre, si l’on fait disparaître le radical de l’équation {% celle-ci devient ' . ‘ •*' • *:■

et l’on en tire ’: : *

v • —x'rf±Jà'y''+btx'i—a,b'

ce qui permet d’écrire les équations des deux tangentes demandées.

Remarque. Les deux valeurs de m sont réelles et inégales, si le point est extérieur à l’ellipse, comme on l’a supposé; on a effectivement alors a'y'1 -f- b'x'1 — a’è* > 0 ; les valeurs

DE L’ELLIPSE

de m sont égales, si le point est sur la courbe; enfin elles sont imaginaires, si le point est dans l’intérieur de la courbe.

Il résulte de là qu’une tangente à l’ellipse n’a aucun point situé dans l’intérieur de la courbe; en d’autres termes, l’ellipse est située tout entière d’un même côté de chacune de ses tangentes: