SONT PARALLÈLES A J.A TANGENTE MENÉE PAR L’EXTRÉMITÉ DE CE DIAMÈTRE
i46. Soit
ay + &V — 0*6* = 0,
l’équation de l’ellipse. Les dérivées du premier membre , parrapport à x et par rapport à y, sont 26’x et 2asy ; par suite le diamètre correspondant aux cordes parallèles, qui ont m pour coefficient angulaire , sera (n° 108)
** * ft * * >
a'my + 6sx = 0 , ou y = — ;
i rm
On voit immédiatement : 1° que tous les diamètres passent par le centre; 2° que toute droite, passant par le centre, est un diamètre; résultats que nous avons déjà obtenus (n° 108). Remarquons encore que, si m' désigne le coefficient angulaire du diamètre correspondant aux cordes dont le coefficient angulaire est m, on a:’, i
arm
ou
mm = —
re-
cette dernière équation exprime la condition pour que les diamètres . '
y — mx,
y = mx
soient conjugués.
147. Soit M(® y') un point quelconque de l’ellipse ; le coefficient angulaire de la tangente en M est — ; celui
du diamètre qui passe par le point M est
ces deux coefficients est — — ; donc les cordes, qu’un diamètre
divise en parties égales , sont parallèles à la tangente menée par l’extrémité de ce diamètre. • ‘ >
Cette propriété fournit un moyen de mener une tangente :
1° par un point'donné sur n , 5 ‘ ^ la courbe, 2° parallèlement
/V à une droite donnée.
x X VN. t° Soit M le point de l’el- -1 , / o\ " / 1 tl‘ üpse (tlg. 90) par lequel il
• ^aot mener tangente.
Menons le diamètre MW et «g. »«. une corde KH parallèle à
MM'; menons ensuite le diamètre NN' conjugué de MM' et qui passe par le milieu de KHj menons enfin MT parallèle c . à NN' : ce sera.; là îan-
, -v J'XJ'x gente demandée,
' ' 2< Soit CD (fig. 01 j 4a
• r r P ditolte donnée, parallèle .à
NT v-1 f là tangente -qu’il fàdt con-
yS' struire; menons une corde
''X- HK parallèle à CD et ti- ‘ rons le diamètre MM', par . Dg. si. le milieu dnHK; roençns
enfin MT et MT parallèles à CD ; ces deux droites seront lés tangentes demandées. •••.’. >•
DE L’ELUPSE.
CORDES SIMPLEMENT AIRES. ON PEUT , AU MOYEN DES CORDES SUP- PLEMENTAIRES, MENER USE TANGENTE A L’ELLIPSE, PAR UN POINT , DONNÉ SUR LA COURBE , OU PARALLÈLEMENT A UNE DROITE DONNEE.
148. On nomme cordei supplémentaires de l’ellipse deux cordes, qui joighent un point quelconque de la courbe aux extrémités d’un même diamètrè.
Il existe, entre les coefficients angulaires de deux cordes supplémentaires, une relation qu’il est utile de connaître. Soit D'D (fig. 92) un diamètre de l’ellipse
aV-f 6 V = a’6’,
et considérons les deux cordes supplémentaires MD et MD',
qui joignent un point M(x, y) de la courbe aux extrémités du diamètre D'D. Désignons par x' et y' les coordonnées du point D; celles du point D' seront alors — x' et — y'. Cela posé, les coefficients angulaires des cordes MD et MD' sont y — %’ «-(-«'
•Z — TT et — i — ;; leur produit est donc Mais, des
. équations . - • : ,
ay -f 6V=o,6*, ‘ '
192 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS, on déduit, par la soustraction.
Donc le produit des coefficients angulaires de deux cordes
supplémentaires est constant et égal à — -j. '
Réciproquement, si le produit des coefficients angulaires de
’ ’ % fi - ' ’ 1 ' • • .
deux cordes MD et MD' ést — - et que ces cordes aient une
extrémité commune M, elles sont supplémentaires. Car, soient m le coefficient angulaire de MD , m! le coefficient angulaire de la corde supplémentaire de MD, menée par lepoint M; on
6* . ;ir •
-aura mm’ = 5; donc m' est. aussi lè coefficient angulaire
de MP'; par suite, MD' est la corde supplémentaire de MD. .
On ferait voir, par un raisonnement semblable, que si deux cordes partent des extrémités d’un même diamètre et que le
produit des coefficients angulaires de ces cordes soit — ces
deux cordes sont supplémentaires.
149. Soient NN' (fig. 93) un diamètre quelconque de l’ellipse et G un point de la courbe; menons les cordes supplémentaires QN, GN', menons ensuite le demiir diamètre OM parallèle à la, corde GN' et, par le point M, la tangente ST à la courbe; je dis que ST ést parallèle à GN:; en effet, le produit flg. 93. des coefficients angulaires de GN
et GN' est égal âu produit des coefficients angulaires de OM
DE L’ELLIPSE
et de ST ; d’ailleurs OM et GN' ont même coefficient angulaire, donc GN et ST ont aussi même coefficient angulaire, et par suite , sont parallèles.
Ce qui précède fournit un moyen de mener une tangente à l’ellipse par un point pris sur la courbe, ou parallèlement à une droite donnée.
t° Soit M ( fig. 93) le point de la courbe par où il faut mener la tangente; tirons le diamètre OM et une corde quelconque GN' parallèle à ce diamètre ; menons ensuite, par le point N' le diamètre NTf, tirons GN et par le point M menons ST parallèle à GN. Cette ligne sera la tangente demandée.
2° Tirons une corde GN quelconque parallèle à la tangente demandée. Menons le diamètre N'N et joignons GN', menons enfin le diamètre MM’ parallèle à GN' et, par les extrémités de ce diamètre, des parallèles à GN; ces parallèles seront les tangentes demandées.
IHAMÈTHES conjugués.
150. Nous avons vu (n° 146) que toute droite passant par le centre de l’ellipse est un diamètre, et que deux diamètres sont conjugués, lorsque le produit de leurs coefficients angu- 6*
laires est égal à — — ; on peut arriver à ces résultats, en se
plaçant à un autre point de vue qu’il est utile d’indiquer. Effectivement, si l’on rapporte l’ellipse à deux diamètres conjugués quelconques, il est évident que l’équation de la courbe ne renfermera ni le rectangle des variables ni les termes du premier degré; réciproquement, quand l’équation d’une ellipse ne renferme pas les termes dont on vient de parler, les axes, auxquels la courbe est rapportée, sont des diamètres conjugués. On voit, d’après cela, que, pour trouver les
diamètres conjugués de l’ellipse, il suffit de déterminer tous les systèmes d’axes de coordonnées, pour lesquels l’équation de la courbe a la forme:
My! + NV = H.
L’ellipse étant d’abord rapportée à son centre et à ses axes, soit
(1) aY + bVsuW,
son équation. Les formules à employer, pour passer à un système d’axes quelconques ayant même origine que les axes actuels, sont
:r = :r'cosa-f-y'cosa', y = x! sin a -j- y' sin a',
a et a' étant , comme on l’a vu , les angles formés par les nouveaux axes des a: et des y avec l’ancien axe des x. En faisant la substitution et supprimant ensuite les accents dont les coordonnées sont affectées, la nouvelle équation de la courbe sera
(a* sin 'a' 6* cos *a')y* -j- 2 (a* sin a sin a' -f- 6* cos a cos a')xy -j-
(à1 sin ’a -f- 6* cos ’a)x* = a!è!.
Pour que les nouveaux axes soient deux diamètres conjugués , on doit avoir :
a’ sin a sin a -(- 6* cos a cos a' = 0 ;
d’où l’on tire :
(2) tang a tang « = 1 ,
équation qui exprime que le produit des coefficients angulaires de deux diamètres conjugués de l’ellipse, rapportée à
son centre et à ses axes , est ?.
as
DE L’ELLIPSE
Quant à l’équation de la courbe , elle se réduit à (a* sin V -|- 6* cos V)ÿ5 -J- (a! sin sa -)- 6* cos îa)a?* = a’6*.
Désignons par 2a' et 26' les longueurs des deux diamètres conjugués, auxquels la courbe est rapportée; l’équation précédente doit être satisfaite en posant y— 0, x — ± a' ; et x—0, y = ± 6' ; ce qui donne :
° a* sin ’a-f- 6* cos ’ct ° a? sin V 6‘ cos *«' ’
on voit, en outre, que lequationde l’ellipse, rapportée à ses diamètres conjugués , peut s’écrire :
-f- = 1 ou a’y! + 6'*x* = o',6'*.
Elle a la même forme que l’équation relative aux axes.
